definiție
Un polinom de variabile pe un câmp este considerat a fi ireductibil dacă este un element simplu al inelului, adică nu este o constantă și nu poate fi reprezentat ca produs, unde u sunt polinoame cu coeficienți în care sunt diferiți de constante.
Se spune că un polinom este absolut ireductibil. Dacă este ireductibilă la închiderea algebrică a câmpului de coeficienți. Polinoamele absolut ireductibile ale unei variabile sunt polinoame de gradul întâi și numai ele. În cazul mai multor variabile, există polinoame absolut ireductibile de un grad arbitrar de mare - de exemplu, orice polinom al formei
Rădăcinile unui polinom ireductibil se numesc conjugate.
- Inelul polinomial este factorial. orice polinom se împarte într-un produs cu polinoame ireductibile, iar această extindere este determinată în mod unic până la factori constanți.
- Deasupra câmpului numerelor reale, orice polinom ireductibil al unei variabile are gradul 1 sau 2, iar polinomul de gradul doi este ireductibil dacă și numai dacă are un discriminant negativ.
- Pe orice domeniu al numerelor algebrice există un polinom ireductibil de orice grad; de exemplu, un polinom, unde u este un număr prime, este ireductibil prin criteriul Eisenstein.
- Dacă este un câmp finit de elemente și a este un număr natural, atunci există cel puțin un polinom ireductibil de grad n în.
- Să presupunem că un inel integrat închis cu un câmp de coeficient (de exemplu, u) și un polinom al unei variabile cu coeficientul de conducere 1, apoi, și, mai mult decât atât, are coeficientul de conducere 1, atunci.
- Criteriul de reducere a ireductibilității. Să se dea un homomorfism al domeniilor integrale. Dacă gradul de polinom coincide cu gradul polinomului și este ireductibil pe câmpul fracțiunilor din domeniu, atunci nu există o descompunere, unde și sunt diferite de constanta.
- De exemplu, un polinom cu coeficient de conducere este simplu în (și, prin urmare, ireductibil în) dacă polinomul obținut prin reducerea coeficienților modulo un număr prime este simplu.
Următoarele cinci polinoame demonstrează câteva proprietăți elementare ale polinomilor ireductibili:
, , , , .
Deasupra inelului de numere întregi. Primele două polinoame sunt reductibile, ultimele două sunt ireductibile. (A treia nu este deloc un polinom peste numere întregi).
Deasupra domeniului numerelor raționale. Primele trei polinoame sunt reductibile, celelalte două sunt ireductibile.
Deasupra câmpului numerelor reale. Primele patru polinoame sunt reductibile, dar sunt ireductibile. În domeniul numerelor reale, polinoamele liniare și polinomii patraționali fără rădăcini reale sunt ireductibili. De exemplu, extinderea unui polinom în domeniul numerelor reale are forma. Ambii factori în această extindere sunt polinomii ireductibili.
Deasupra câmpului de numere complexe. toate cele cinci polinoame sunt reductibile. De fapt, fiecare polinom diferit de o constantă poate fi descompus în factori de formă:
unde este gradul polinomului. - coeficientul de conducere, - rădăcinile. Prin urmare, singurele polinoame ireductibile sunt polinomii liniare (principala teoremă a algebrei).
Câmpuri finite
Polinoamele cu coeficienți întregi care sunt ireductibili pe un câmp pot fi reductibile pe un câmp finit. De exemplu, un polinom este ireductibil, dar peste un câmp de două elemente avem:
literatură
- Van der Waerden BL # 32; Algebra. - M. Mir, 1976. - 648 p.
- Leng S. # 32; Algebra. - M. Mir, 1968.
- Zariski O. Samuel P. Algebra comutativă. - M. IL, 1963.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: