Soluția problemei Cauchy prin metoda d'Alembert - stadopedia

Prelegerea 15. SOLUȚIONAREA PROBLEMEI CAUCHIEI PENTRU EQUATIONUL DE CĂI

Poziționăm problema Cauchy pentru o ecuație de undă omogenă care descrie oscilațiile libere ale unui șir omogen, adică găsim o soluție de ecuație







satisfacerea condițiilor inițiale

Această problemă (15.1), (15.2) poate fi rezolvată prin metoda d'Alembert.

Să facem trecerea la forma canonică a ecuației (15.1) cu ajutorul integralelor generale ale ecuației caracteristice (13.3). În cazul nostru, această ecuație are forma:

În consecință, C1 și C2 determină ecuațiile familiilor caracteristice. Apoi transformarea variabilelor independente (13.5) va avea forma

Calculăm în variabile noi:

și înlocuiți-le în ecuația (15.1)

După abrevieri, ajungem

Integrarea acestei ecuații dă

Revenind la variabilele x și y. în cele din urmă

Funcția este o soluție de (15.1) dacă u1 și u2 sunt funcții arbitrare de două ori diferențiate. În soluția (15.4), este necesar să se aleagă funcțiile u1 și u2 astfel încât să satisfacă condițiile inițiale (15.2)







Ecuația integrării (15.6) în intervalul de la x0 la x. avem

Rezolvând împreună ecuațiile (15.5) și (15.7) cu privire la u1 (x) și u2 (x), obținem

Substituiind (15.8) și (15.9) în soluție (15.4), obținem în final soluția cauzei Cauchy pentru ecuația de undă omogenă

Formula (15.10) este numită formula d'Alembert pentru o ecuație de undă omogenă care descrie oscilațiile libere ale unui șir omogen. Această formulă dă soluția clasică (15.1) - (15.2) numai în ipoteza că funcția are instrumente derivate până la ordinul doi, iar funcția - pentru primul.

Soluția problemei Cauchy a unei ecuații de undă neomogenă care descrie oscilațiile forțate ale unui șir omogen

satisfacerea condițiilor inițiale

pot fi obținute din formula

Aceasta este formula lui d'Alembert. care oferă o soluție a problemei Cauchy pentru o ecuație de undă neomogenă care descrie vibrațiile forțate ale unui șir omogen.

Exemplul 15.1. Găsiți soluția de ecuație

satisfacerea condițiilor inițiale

▲ Pentru a găsi soluția problemei inițiale Cauchy, folosim formula d'Alembert (15.10)

În cele din urmă, soluția problemei originale are forma

Exemplul 15.2. Găsiți soluția de ecuație

satisfacerea condițiilor inițiale

▲ Pentru a găsi soluția problemei inițiale Cauchy, folosim formula d'Alembert (15.10)

În cele din urmă, soluția problemei originale are forma

Exemplul 15.3. Găsiți soluția de ecuație

satisfacerea condițiilor inițiale

▲ Pentru a găsi soluția problemei originale Cauchy, folosim formula d'Alembert (15.13)

În cele din urmă, soluția problemei originale are forma







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: