Toate definițiile și proprietățile transformărilor liniare își păstrează semnificația și în spațiile euclidane. În același timp, existența unui produs scalar ne permite să distingem anumite clase importante de transformări liniare. Astfel de clase includ transformări conjugate și autoconjugate.
O transformare liniară f * cu matricea L * se spune că este conjugată cu o transformare dată f cu matricea L dacă pentru oricare vectori din Rn avem
Să descoperim cum matricele L și L * sunt legate într-o bază ortonormală.
Prin definiția transformării adjoint, pentru orice vectori de bază ortonormală,
Imaginile vectorilor de bază au forma și apoi
Ca urmare, = pentru toate i și j și, prin urmare, matricea transformării conjugate este obținută din matrice prin transpunerea: L * = L T.
Rețineți că dacă L este o matrice ortogonală, adică L T = L-1. atunci transformarea conjugată este transformarea inversă: L * = L -1.
O transformare liniară f se numește autoadjină. Dacă pentru orice vectori din Rn egalitatea
Cu alte cuvinte, o transformare liniară este auto-adjunct dacă coincide cu conjugatul său; L = L T. În acest caz, matricea L este simetrică.
Se afișează principalele proprietăți ale transformărilor auto-adjoint.
1 0. Toate valorile proprii ale unei transformări auto-adiacente sunt reale.
De exemplu, pentru n = 2 ecuația caracteristică are forma sau. Discriminantul unui trinomial quadratic este non-negativ, iar rădăcinile trinomiale sunt reale.
2 0. Vectorii proprii ai unei transformări auto-adiacente care aparțin diferitelor valori proprii sunt ortogonale.
Într-adevăr, permiteți-i. atunci din egalitate rezultă că ceea ce este posibil numai cu
3 0. În spațiul euclidian există o bază ortonormală a vectorilor proprii ai unei transformări liniare auto-adiacente. Această afirmație se numește teorema principală asupra transformărilor de auto-adjuint. Rezultă, în special,
Teorema: într-o bază a vectorilor proprii individuali ai unei transformări liniare, matricea acestei transformări este diagonală. iar elementele principalei diagonale sunt valorile proprii.
Într-adevăr, o transformare liniară este complet definită dacă imaginile vectorilor de bază sunt date.
Dar dacă vectorii unității sunt de bază. atunci imaginile lor aparținând valorilor proprii au forma
Și apoi matricea unei astfel de transformări liniare este diagonală :.
Sarcina 0.64. Găsiți valorile proprii și vectorii proprii ai unei transformări auto-adiacente cu o matrice. Găsiți baza ortonormală a vectorilor proprii și construiți matricea de tranziție de la baza inițială la cea găsită.
Soluția. Ecuația caracteristică are rădăcini
# 956; 1 = 0. # 956; 2 = # 956; 3 = 6. Când # 956; 1 = 0 din sistemul de ecuații găsim raportul dintre coordonatele vectorului propriu x1. x2. x3 = 1: 2: 1 și apoi primul vector propriu. la # 956; 2 = # 956; 3 = 6, sistemul de ecuații este redusă la o ecuație x1 + x3 + 2x2 = 0, astfel încât raportul dintre coordonatele eigenvector nu poate fi determinată în mod unic. Valoare proprie # 956; = 6 există o mulțime de vectori proprii noncoliniari perpendiculari pe vector. Din aceste vectori, doi vectori ortogonali pot fi aleși arbitrar. De exemplu, luăm ca vector un vector. deoarece coordonatele sale satisfac ecuația
x1 + 2x2 + x3 = 0. Apoi, coordonatele vectorului propriu. ortogonale față de vectorii u. sunt determinate de ecuații. Avem
Evident, vectorii proprii sunt pereche ortogonali, deoarece . Normalizându-le, obținem baza dorită:
Matricea de tranziție de la baza inițială la cea constatată constă din coloanele de coordonate ale noului
§5. Forma quadratică, matricea și forma canonică.
Să presupunem că, pe o bază ortonormală, matricea simetrică a ordinului n determină o transformare liniară auto-adjointă f. O formă patratică. conectat cu transformarea f este o funcție k (), atribuind fiecărui vector un anumit număr prin formula:
Matricea L este numită matricea formei kvadrate k () pe o bază dată.
Sarcina 0.65. Scrieți o formă patratică având matricea A =
Forma pătratic k () conține produsul și coordonatele pătratele lor, așa se spune uneori că forma pătratică - un polinom omogen al doilea grad de n variabile. De obicei, este scris astfel încât elementele diagonale ale lui L sunt coeficienții pătratelor variabilelor, și fiecare element în afara diagonalei egal cu jumătate din produsul coeficientului variabilelor corespunzătoare.
Sarcina 0.66. Forma patratică are matricea A. Găsiți această matrice.
Soluția. Folosind relația dintre coeficienții formei patrate și elementele matricei, primim: Răspuns.
bază Perehodot la o nouă bază presupune coordonate vector de transformare și schimbarea matricei de transformare L liniară * = T -1 L T. Dacă o bază ortonormală, T matricea de tranziție la o nouă bază ortogonală, adică T T = T-1. și apoi
L * = T T L T. Această formulă determină legea de schimbare a matricei formei patrate atunci când baza ortonormală a spațiului este înlocuită.
O nouă bază este de interes special. în care forma brută ia forma cea mai simplă (forma canonică).
Teorema. Pentru fiecare formă patratică există o bază ortonormală în care are așa-numita formă diagonală:
Dovada. Prin definiție, o matrice simetrică L este asociată cu fiecare formă patratică, care este matricea unei transformări autonome.
Prin teorema fundamentală a transformării autoadjunct în spațiul Euclidian, există o bază ortonormală de vectori proprii ale matricei L. Această matrice bază este o diagonală L (cm. Teorema §4), care sunt aranjate de-a lungul principalelor autovalorile diagonale # 956; # 956; 2, ..., # 956; n. Prin urmare, în baza indicată, forma cadrată are o formă canonică (diagonală):
Problema este de 0,67. Găsiți o bază în care forma cuadratoare are forma diagonală.
Soluția. formă pătratică F cu matricea A = este o vedere în diagonală a unei baze ortonormală de vectori proprii ale matricei A. Ecuația caracteristică are rădăcini # 956; 1 = -4, # 956; 2 = 1.
Găsim și normalizăm vectorii proprii.
Matricea de tranziție de la baza veche la baza are forma. și apoi coordonatele vectorului (x1, x2) sunt transformate conform formulelor:
Ca rezultat, forma patratică ia forma diagonală
Definiția. Numărul de coeficienți non-zero în forma patratică a formei diagonale este egal cu rangul matricei sale și se numește rangul formei patrate. Diferența dintre numărul pozitiv și numărul de coeficienți negativi ai formei patrate a formei diagonale se numește semnătura formei patrate și este notată cu # 948;.
Ambele numere nu depind de baza în care se obține forma diagonală a formei patrate.
№1. Arătați că vectorii formează o bază într-un spațiu liniar tridimensional și găsesc descompunerea unui vector de-a lungul vectorilor acestei baze. Rulați cecul.
№2. Prima bază a spațiului L3 constă din vectori. Cea de-a doua bază constă din vectori. Formulele de scriere exprimă noile coordonate ale vectorului prin vechile coordonate atunci când trec de la prima bază la a doua bază.
№3. Găsiți valorile proprii și vectorii proprii ai matricei
№4. La ce valoare este baza formată de vectori și este ortogonală? Normalizați această bază dacă baza este ortonormală.
№5. Găsiți baza ortonormală a vectorilor proprii ai matricei patratice și formați formulele pentru transformarea coordonatelor x, y și z în timp ce ne mutăm la o nouă bază. Forma cadrului este reprezentată într-o formă diagonală.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: