Evaluare: 5/5
Planul tangent la suprafață în punctul său $ M_0 $ (punctul de tangență) este un plan care conține toate tangentele la curbele trase pe suprafață prin acest punct.
O suprafață normală la o suprafață este o linie dreaptă perpendiculară pe planul tangent și care trece prin punctul de tangență.
Dacă suprafața ecuației are forma $$ F (x, y, z) = 0, atunci ecuația plan tangent $$ la $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ este $$ F_x „(x_0, y_0, z_0) (x -x_0) + F_y '(x_0, y_0, z_0) (y-y_0) + F_z' (x_0, y_0, z_0) (z-z_0) = 0. $$
În cazul stabilirii suprafeței într-o formă explicită $$ z = f (x, y) $$ ecuatia planului tangent la $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ are forma $$ z-z_0 = f_x „(x_0, y_0) ( x-x_0) + f_y „(x_0, y_0) (y-y_0), $$ o ecuație normală $$ \ frac = \ frac = \ frac. $$
7229. a) găsiți ecuațiile planului tangent și suprafața normală la suprafață $ z = \ sin x \ cos y $ la punctul $ (\ pi / 4, \ pi / 4, \ pi / 4).
Pentru suprafața $$ z = f (x, y) $$ ecuatia planului tangent la $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ are forma $$ z-z_0 = f_x „(x_0, y_0) (x-x_0) + f_y '(x_0, y_0) (y-y_0), $$ și ecuația normală $$ \ frac = \ frac = \ frac. $$
Găsim derivate parțiale:
$ z'_x = (\ sin x \ cos y) '_ x = \ cos x \ cos y; $
$ z'_y = (\ sin x \ cos y) 'y = - \ sin x \ sin sin; $
Astfel, ecuația planului tangent este: $ z- \ frac = \ frac (x- \ frac) - \ frac (y- \ frac) \ Rightarrow $ $$ \ fracx - \ fracy-z + \ frac = $
7232. Pentru suprafața $ z = 4x-xy + y ^ 2, găsiți ecuația planului tangent paralel cu planul $ 4x + y + 2z + 9 = 0. $
Pentru suprafața $$ z = f (x, y) $$ ecuatia planului tangent la $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ are forma $$ z-z_0 = f_x „(x_0, y_0) (x-x_0) + f_y '(x_0, y_0) (y-y_0)
Găsim derivate parțiale:
Prin urmare, găsim ecuația planului tangent: $$ z-z_0 = (4-y_0) (x-x_0) + (- x_0 + 2y_0) (y-y_0) \ rightarrow $$ $$ (4-y_0) (x-x_0) + (-x_0 + 2y_0) (y-y_0) -z + z_0 = 0. $$
Să găsim punctul de suprafață $ M (x_0, y_0, x_0) $ planul tangent la care este paralel cu planul $ 4x + y + 2z + 9 = 0: $
Astfel, ecuația planului tangent este: $$ z-11 = (4-6) (x- \ frac) + (- \ frac + 2 \ cdot 6) (y-6) \ Rightarrow $$ $$ z-11 = -2 (x- \ frac) - \ frac (y-6) \ Rightarrow 2x + \ fracție + z-11-25-3 = 0 \ Rightarrow $$ $$ \ Rightarrow4x + y + 2z-78 = 0. $$
7233. a) Gasiti ecuatiile planului tangente si cele normale la suprafata $ x (y + z) (xy-z) + 8 = 0 $ la punctul $ (2, 1, 3)
Pentru suprafața $$ F (x, y, z) = 0 $$ ecuația de planul tangent la $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ este $$ F_x „(x_0, y_0, z_0) (x-x_0) + F_y '(x_0, y_0, z_0) (y-y_0) + F_z' (x_0, y_0, z_0) (z-z_0) = 0. $$
$ F (x, y, z) = x (y + z) (xyz) + 8 = x ^ 2y ^ 2-xyz + x ^-xz ^ 2 Raspuns 2 + 8 = 0 $
Găsim derivate parțiale:
Prin urmare, ne găsim ecuația planului tangent $$ 4 (x-2) +14 (y-1) -10 (z-3) = 0 \ rightarrow 4x + 14y-10z + 8 $$.
7229. b) găsiți ecuațiile planului tangent și suprafața normală la suprafață $ z = e ^ $ la punctul $ (1, \ pi / 1 / e) $
7.230. Găsiți distanța de la origine la planul tangent la suprafață $ z = y tg \ frac $ la punctul $ \ left (\ frac \ right) $
7233. b) Gasiti ecuatiile planului tangente si cele normale la suprafata $ 2 ^ + 2 ^ = 8 $ la punctul $ (2, 2, 1).
7.234. Pentru suprafața $ x ^ 2-z ^ 2-2x + 6y = 4 $, găsiți ecuația paralelei normale față de linia $ \ frac = \ frac = \ frac. $
Trimiteți-le prietenilor: