2.5 Seturi compacte
261. În spațiul R 2 dăm un exemplu de set M
având următoarele proprietăți: a) M este compact;
b) M este precompact;
c) M este precompact, dar nu compact; d) M este limitat, dar nu compact;
e) M este închis, dar nu compact.
262. Dovedeste ca setul x n (t) = sin nt (n 2 N) este marcat si inchis in spatiul L 2 [; ]. dar nu precompact.
263. Dați un exemplu de set limitat închis în "2. dar nu compactum.
264. Dovada că în R orice set limitat închis este compact.
265. Luați în considerare în C [0; 1] setul M. constând din funcții
x (t) = kt + b. unde 0 k; b 1. Fie n> 0 arbitrară.
Construiește un "finit" pentru M ".
266. Să demonstreze că orice set de precompact în "2 nu este dens" 2.
267. Dovada că unirea unui număr finit de seturi precompact este precompactă.
268. Dovedeste ca unirea unui numar finit de compacta este compacta.
269. Dovada că intersecția oricărui set
Capitolul 2. Spații normalizate și funcționalități
precompactele sunt precompactate.
270. Dovada că intersecția oricărui set de compacta este compactă.
271. Dovada că mulțimea M a tuturor continuilor pe [0; 1]
funcții astfel încât jx (t) j 1 este mărginită și închisă în C [0; 1]
dar nu precompactă.
272. Construiește un exemplu de set deschis deschis pe o linie acoperită de intervale astfel încât nu se poate distinge o acoperire finită de această acoperire.
273. Este setul
274. Fie M un set compact într-un spațiu Banach
X. Dovedeste ca pentru orice x 2 X exista un y 2 M astfel incat
275. Dovada că închiderea unui set precompact este compactă.
Dovedeste ca fiecare subset al unui set compact este precompact.
277. Să demonstreze că într-un spațiu normat, dimensionat, finit, fiecare set limitat este precompact.
278. Fie M un set de funcții limitat uniform în
spațiul C [a; b]. Dovedeste ca setul N de functii ale formularului
2.5. Seturi compacte
unde x (t) 2 M. este precompact.
279. Dați un exemplu de set de funcții care pot fi diferențiate continuu pe [0,1], precompact în spațiul C [0; 1]. dar nu se precompactă în spațiul C 1 [0; 1].
În sarcinile 280 - 286, pentru a determina dacă setul de funcții dat este precompact în spațiul C [0; 1]:
280. xn (t) = t n; n 2 N.
281. x n (t) = sin nt; n 2 N.
282. xn (t) = sin (t + n); n 2 N.
285. x (t) = arctg t; 2 R.
286. x (t) = e t; 2R; 0.
287. Dovada ca setul M de elemente x = (x 1; x 2 ;.) Din spațiul c sau c 0 este precompact dacă și numai dacă
Este limitată și lim x n există uniform în ceea ce privește
x 2 M. adică pentru orice n> 0 există un N = N (n). că pentru toate n> N pentru orice x = (x 1; x 2;) 2 M inegalitatea
jx n lim x n <":
288. Dovada ca setul M de elemente
x = (x 1; x 2 ;.) 2 `p (p 1) este precompact dacă și numai dacă
Capitolul 2. Spații normalizate și funcționalități
când este limitată și
există uniform în ceea ce privește x 2 M. pentru oricine
> 0 există un N = N (n). că pentru toate n> N pentru orice x = (x 1; x 2;) 2 M inegalitatea
289. Dovedeste ca un paralelipiped
fx 2 "2; x = (x 1; x 2 ;.). jx n j 1 = ng
este un set compact în spațiul ~ 2.
290. Arătați că harta f din problema 239 nu pornește
M de cea mai mică valoare. Acest lucru nu contravine teoremei Weierstrass?
2.6 Teorema lui Hahn-Banach
În următoarele probleme este necesar să se găsească extinderea funcționalității f din subspațiul L R n la întregul spațiu R n cu păstrarea normei
291. L = f (x; y) 2R2 x = yg; f L = 2x.
292. L = f (x; y) 2R2; 2x = yg; f L = x.
293. L = f (x; y) 2R2 x = yg; f L = x.
Articole similare
-
Kilometrajul masinilor și al unităților lor principale, înainte de prima revizie
-
Conceptul statului de drept, semne, structură, valoare socială
Trimiteți-le prietenilor: