O estimare interval a unei variabile aleatoare este setul de estimări de punct care acoperă un parametru necunoscut. Un astfel de interval este numit un interval de încredere (Figura 1.10). Limita inferioară a intervalului este cea mai mică valoare a caracteristicii din interval, iar limita superioară este cea mai mare valoare a caracteristicii din interval. Valoarea intervalului este diferența dintre limitele superioare și inferioare ale intervalului.
Dacă intervalul este simetric în raport cu centrul distribuției normale (în ceea ce privește așteptarea a), astfel încât aceleași segmente sunt luate la stânga și la dreapta # 8710; x (Figura 1.10.b), atunci lățimea intervalului va fi 2 # 8710; x. Uneori în rezolvarea problemelor, intervalul de încredere se numește jumătate de lățime # 8710; x. Limitele intervalului pot fi desemnate ca # 945; și # 946; Fiecare interval de încredere este în concordanță cu fiabilitatea probabilității de încredere a lui Riley. Această estimare ne permite să răspundem la întrebarea care este probabilitatea valorii necunoscute a parametrului estimat al populației într-un anumit interval.
Și să nu putem stabili unde parametrul necunoscut se află pe axa numerică, dar putem specifica un interval de încredere de 2 # 8710; x. în care se află cu o probabilitate de încredere P.
Pentru a rezolva problema estimării intervalului, trecem de la variabila x la variabila t din funcția Gaussiană. Fie (x-a) abaterea efectivă a unei valori individuale a unei variabile aleatorii dintr-o așteptare matematică. Împărțiți-o cu abaterea standard # 963; Denumiți rezultatul divizării ca. Astfel, normalizăm sau standardizăm toate valorile variabilei x. Acest parametru are următoarea semnificație: indică de câte ori deviația reală diferă de abaterea standard. Prin urmare, parametrul t se numește deviația relativă. Acesta este, de obicei, numit criteriul statistic al distribuției normale standard. La verificarea ipotezelor statistice, valorile sale permit fie acceptarea, fie respingerea ipotezelor avansate.
Utilizând parametrul t. Puteți înlocui variabila cu o funcție Gaussiană. Din aceasta, expresia devine mai simplă, iar graficul se deplasează la origine până la un punct cu coordonatele t = 0 (cu așteptarea matematică egală cu zero și # 963; = 1) cu limitele intervalului - t și + t (Figura 1.11). Cu un astfel de grafic este mai convenabil să se lucreze, deoarece o mulțime de variabile aleatoare diferite cu o distribuție normală poate fi reprezentată de un grafic monoton și devine posibil să se creeze un singur algoritm pentru rezolvarea problemelor pentru o varietate de CB. Așa cum am menționat deja mai sus, probabilitatea de lovire a valorii variabilelor aleatoare într-un interval dat este egală cu aria de sub curba funcției densității de probabilitate într-un interval dat. În Fig. 1.11 această zonă este umbrită. În matematică, aria de sub graficul unei funcții este egală cu integrarea acestei funcții. Apoi, pentru a găsi probabilitatea ca valoarea variabilelor aleatoare să atingă intervalul de la -t la + t. Integrăm funcția de densitate a probabilității în acest interval. . Luând în considerare simetria intervalului, găsim suprafața de la 0 la t și înmulțim cu două. . În această expresie înlocuim funcția Gaussiană. .
Valorile acestui integral pentru diferite t au fost calculate de Laplace și prezentate sub forma unui tabel. Acest tabel poate fi găsit în orice ghid matematic. Deoarece valorile acestui integral depind de limita t. atunci funcția integrală a funcției Gauss este numită funcția Laplace și este desemnată ca. Astfel, probabilitatea de a găsi o valoare necunoscută a parametrului estimat al populației generale poate fi găsită prin formula: P = 2Φ (t). Dacă intervalul este asimetric P = Φ (t2) - Φ (t1)
Observație Uneori în tabelele distribuției normale, în locul funcției Laplace, probabilitatea P sau nivelul de semnificație # 945; parametrul t poate avea notația z.
Intervalul de încredere pentru valorile individuale ale trăsăturii studiate, cu un parametru cunoscut # 963;
Fie populația generală X distribuită în conformitate cu legea normală N (a, # 963;). în plus, parametrul # 963; este cunoscută. Este necesar să se estimeze intervalul de încredere pentru valorile caracteristicilor măsurate. În acest caz, din formula sau derivă formula de interval de încredere pentru valorile individuale ale CB. Jumătate de lățime a intervalului de încredere
Centrul său este în punctul a. frontiera stângă este importantă. dreapta. și lungimea intervalului 2t # 963;
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: