Una dintre metodele de extindere a funcției într-o serie este calculul derivatului funcției, derivatul este în continuare dezvoltat într-o serie (formulele Maclaurin) și integrarea se realizează prin extinderea funcției. Cuvintele arată oarecum confuz, dar următoarele exemple ar trebui să dezvăluie esența acestei tehnici.
Exemplul 5.8 Extindeți arctangentul într-o serie în puteri de x:
Calcule: Plasați direct arctangentul, nu aș sfătui pe nimeni, așa că mai întâi calculam derivatul funcției:
Indicați cu noua variabilă, atunci derivatul poate fi scris în formular
Mai mult, numitorul derivatului de către formulele lui McLaren este extins într-o serie
Revenind la substituție, obținem extinderea derivatului
După aceasta terminați pe termen integrați întreaga serie și obțineți formula finală pentru extinderea tangentei arcului
Există multe calcule, dar în practică sarcinile nu sunt mai ușoare.
Exemplul 5.13 Găsiți extinderea tangentei arcului într-o serie de putere în x
Calculăm derivatul arctangentului, ca de la o funcție complexă
Simplificarea ne permite să obținem o expresie compactă a derivatului. În continuare, scriem schema derivatului într-o serie cu coeficienți nedeterminați
Nu vom da o schemă completă, dar dacă transferăm numitorul pe partea dreaptă a semnului egalității și echivalăm coeficienții pentru aceleași puteri ale variabilei x, obținem un sistem restrâns de ecuații și, la sfârșit, soluția sa:
A = 0, B = 2, C = 0, D = 4, E = 0, F = 2, ....
După aceasta putem scrie expansiunea derivatului în formă
Dacă intrarea este integrată, obținem calendarul funcției în puteri de x
Formula, în ciuda complexității calculelor, este destul de compactă.
Exemplu: 5.19 Găsiți extinderea sinusului arc într-o serie de putere în x
Calcule: În conformitate cu schema de mai sus, găsim mai întâi derivatul ca o funcție complexă:
Se descompune derivatul într-o serie în conformitate cu formula Maclaurin
Integrarea seriei nu cauzează probleme și obținem distribuția finală a arcului într-o serie
Teoria probabilităților
Ecuații diferențiale
Evaluare externă independentă
Trimiteți-le prietenilor: