Pentru a obține ecuațiile care descriu portretul de fază al doilea sistem de comandă, este necesar ca în sistemul de ecuații diferențiale (12,6), a doua ecuație este împărțită în prima și a elimina din considerație timpul t, pentru a obține:
Soluția acestei ecuații oferă o familie de curbe integrate pe planul de fază de-a lungul cărora sunt construite traiectoriile de fază ale sistemului.
Imaginile de fază ale sistemelor liniare de ordinul doi sunt clasificate după tipurile de puncte singulare.
Un sistem liniar de ordinul doi este descris de ecuație
unde y (t) este coordonata de iesire a sistemului; A0. a1, a2 sunt coeficienți constanți. Notând y (t) = y1 (t), atunci ecuația (13.1) poate fi de asemenea scrisă
Împărțim cea de-a doua ecuație la prima, ajungem
a cărui soluție este ecuația traiectoriilor de fază
unde ci sunt constante de integrare.
Există șase tipuri diferite de traiectorii de fază în funcție de rădăcinile ecuației caracteristice a2s 2 + a1s + a0 = 0.
Sistemul se află la limita de stabilitate.
Graficul Y1 (t) este prezentat în Fig. 13.1. Pentru a obține ecuația traiectoriei de fază, expresiile (13.8) și (13.9) sunt pătrat și adăugate,
Oscilațiile periodice ne-amortizate din sistem corespund unei traiectorii de fază închisă pe planul de fază. Punctul singular al sistemului este centrul geometric al traiectoriilor de fază și se numește centru, iar sistemul în sine este numit conservator.
Fig. 13.1. Un portret de fază al tipului de centru: a) planul rădăcinilor
ecuația caracteristică; b) procesul de tranziție; c) portret de fază
Soluția ecuației (13.4) are forma
Fig. 13.2. Un portret de fază al tipului de focalizare stabilă: a) localizarea rădăcinilor
ecuația caracteristică; b) procesul de tranziție; c) portret de fază
Ecuațiile (13.11) și (13.12) dau ecuația parametrică a spiralelor în planul de fază. Cu fiecare rotație, care corespunde unei perioade de punct reprezentativ de oscilație se apropie de origine, deoarece valorile Y1 și Y2 pentru perioada de oscilație devine mai mică.
Un punct singular se numește focalizare stabilă.
Fig. 13.3 Un portret de fază al tipului de focalizare instabilă: a) locația rădăcinilor
ecuația caracteristică; b) procesul de tranziție; c) portret de fază
Starea instabilității instabile a sistemului corespunde unui punct singular, care se numește focalizare instabilă (figura 13.3c). În sistem apare un proces oscilator cu o amplitudine crescătoare.
Cazul 4. Rădăcinile sunt reale negative pentru a1> 4a0a2; a0> 0, a1> 0, a2> 0: s1, 2 = - # 945; ± b (figura 13.4a); # 945; = a1 / (2a2), sistemul este stabil. Acest caz corespunde unui proces aperiodic în sistem, sistemul în sine este stabil. Soluția ecuației (13.14)
zonele de frontieră cu tip tranzitoriu 1 și 2 sunt drepte cu ecuațiile y2 = -s2y1 și y2 = -s1y1.
Toate traiectoriile de fază se varsă în origine - un punct singular numit nodul stabil (Figura 13.4). Timpul până la starea de echilibru este teoretic egal cu infinitul.
Fig. 13.4. Un portret de fază al tipului unui nod stabil: a) locația rădăcinilor
ecuația caracteristică; b) procesul de tranziție; c) portret de fază
Fig. 13.5. Un portret de fază al tipului de nod instabil: a) locația rădăcinilor
ecuația caracteristică; b) procesul de tranziție; c) portret de fază
Traiectoriile de fază sunt direcționate de la origine la infinit. Un punct special se numește un nod instabil (Figura 13.5). Traiectoriile extreme sunt determinate de ecuațiile y2 = s1y1 și y2 = s2y1.
Un caz particular este atunci când a1 = 0 și, ținând seama de faptul că a0 <0, решение уравнения (13.6) запишется в виде
Expresia (13.19) este ecuația familiei de hyperbola echilaterale. Asimptotele de hiperbola: y2 = ± wy1. Fiecare dintre asimptote constă în trei traiectorii de fază, adică punctul singular este considerat ca fiind una dintre traiectoriile de fază și se numește șa.
Asimptotele în planul de fază se numesc separatrice ale șei (Figura 13.6). Pentru două separatrice, punctul reprezentativ se apropie de starea de echilibru și se îndepărtează de celelalte două separatrice.
Șaua este o stare de echilibru instabilă. Perturbatii conduce la faptul că punctul reprezentativ se îndepărtează de la starea de echilibru și lovind calea adiacente îndepărtat la infinit pe ea.
Fig. 13.6. Un portret de fază al tipului de șa: a) locația rădăcinilor
ecuația caracteristică; b) procesul de tranziție; c) portret de fază
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: