Definiția și proprietățile exponentului matricei
Considerați o matrice pătrată \ (A \) de mărime \ (n \ ori n, \) ale cărei elemente pot fi numere reale sau complexe. Deoarece matricea \ (A \) este o matrice pătrată, operația de ridicare a acesteia la o putere este definită pentru aceasta; putem calcula matricele \ [= I, \; \; = A,> \; \; = A \ cdot A,> \; \; = \ cdot A, \; \ ldots,> \; = \ subbrace _ \ text,> \] unde I (I \) denotă matricea de identitate a ordinului \ (n. \)
Matrix compune infinit serie putere \ [I + \ frac> A + \ frac >>> + \ frac >>> + \ cdots + \ frac >>> + \ cdots \] Valoarea seriei infinite este matricea exponențială și notată \ (>: \) \ [> = \ sum \ limite _ ^ \ infty >>>> \.] Această serie este absolut convergentă.
În cazul limitării, atunci când matricea constă dintr-un număr \ (a, \) are dimensiunea \ (1 \ ori 1, \) formula redusă se transformă în formula cunoscută pentru extinderea funcției exponențiale \ (> 1) din seria Maclaurin. \ [> = 1 + at + \ frac >>> + \ frac >>> + \ cdots> = ^ \ infty >>>>.> \] Exponentul matricei are următoarele proprietăți de bază:Dacă \ (A \) este matricea zero, atunci \ (i = i; 1)
Dacă \ (A = I \) (\ (I \) este matricea unității), atunci \ (> = 1; 1)
Dacă pentru \ (A \) există o matrice inversă \ (>, \) atunci \ (i = i; 1)
\ (>> = \ right) A >>, \) unde \ (m, n \) sunt numere reale sau complexe arbitrare;
Derivatul exponentului matricei este exprimat prin formula \ [\ frac> \ left (>> \ right) = A>. \]
Fie \ (H \) o transformare liniară nondegenerată. Dacă \ (A = HM>, \) atunci \ (> = H >>. \)Aplicarea matricei exponențiale pentru rezolvarea sistemelor liniare omogene cu coeficienți constanți
Exponentul matricei poate fi utilizat cu succes pentru a rezolva sisteme de ecuații diferențiale. Să considerăm sistemul de ecuații omogene lineare, care, în forma de matrice poate fi scris ca \ [\ mathbf „\ stânga (t \ dreapta) = A \ mathbf \ stânga (t \ dreapta). \] Soluția generală a acestui sistem este reprezentat printr-o matrice de exponențială ca \ [\ mathbf \ stânga (t \ dreapta) => \ mathbf, \] unde \ (\ mathbf = ,, \ ldots,> \ dreapta) ^ T> \) - arbitrar \ (n \) - vector dimensional. Simbolul \ (^ T \) reprezintă operația de transpunere. În această formulă, nu putem scrie vectorul \ (\ mathbf \), în fața unei matrice exponențială, deoarece produsul matricilor \ (\ mathop> \ limits_ \ right]> \ mathop >> \ limits_ \ right]> \) nu este definită.
Pentru problema cu condițiile inițiale (problema Cauchy) componente ale vectorului \ (\ mathbf \), exprimate în termeni de condițiile inițiale. În acest caz, o soluție omogenă a sistemului este scris ca \ [\ mathbf \ stânga (t \ dreapta) => _ 0>, \; \; \ textul \; \;. _ 0> = \ mathbf \ stânga (> \ dreapta) \] Astfel, soluția sistemului omogen de ecuații devine cunoscut, dacă corespunzător calculat matricea exponențială. Pentru a le calcula, putem folosi o serie infinită, care este cuprinsă în definiția exponentului matricei. Cu toate acestea, de multe ori acest lucru ne permite să găsim exponentul matricei numai aproximativ. Pentru a rezolva problema, putem folosi și o metodă algebrică bazată pe ultima proprietate listată mai sus. Să luăm în considerare mai detaliat această metodă și cursul general al soluției.
Algoritmul pentru rezolvarea sistemului de ecuații prin metoda exponentului matricei
Mai întâi găsim valorile proprii \ (\) ale matricei (operator liniar) \ (A; \)
Calculăm vectorii proprii și (în cazul mai multor eigenvalue) vectorii asociați;
Din vectorii proprii obținuți și vectorii asociați se formează matricea nondegenerată a transformării liniare \ (H. \) Calculați matricea inversă corespunzătoare \ (> \); Găsiți un formuJ obișnuit Jordan pentru o matrice \ dat (A, \) folosind formula \ [J => AH \.] Notă: În procesul de găsire a valorilor proprii și vectorii asociate adesea devine clar structura Jordan a fiecărei celule. Acest lucru ne permite să notăm imediat formularul Iordan, fără a calcula cu ajutorul formulei indicate.Cunoscându Jordan formă \ (J, \) matrice costavlyaet \ (>. \) Formulele corespunzătoare pentru această conversie sunt scoase din definiția matricei exponențială. Pentru unele forme simple Jordan, matricea \ (> \) are forma dată în tabel:
Trimiteți-le prietenilor: