metode de soluții numerice pentru o ecuație diferențială obișnuită. Se cheamă problema Cauchy. problema determinării unei funcții sau a mai multor funcții care satisfac unul sau, respectiv, un sistem de ecuații diferențiale și ia o valoare dată la un anumit punct fix. lăsa
- vectori, care sunt definiți și continuu, respectiv, într-un interval și într-o regiune închisă, unde există o anumită normă în spațiul dimensional finit Rn. În această notație, pentru un sistem de ecuații diferențiale ordinare de ordinul întâi este scris în formular
Prin introducerea unor noi funcții necunoscute într-o manieră adecvată, putem reduce la forma K. pentru orice sistem de ecuații diferențiale ordinare de ordine arbitrară. Soluția problemei (1) există dacă funcția f (x, y) este continuă în Π. Pentru ca această soluție să fie unică, este suficient să se îndeplinească următoarea condiție:
unde funcția w (t) este astfel încât
sau condiția mai puternică de Lipschitz:
Valoarea lui Lase. constanta Lipschitz. Dacă funcția f (x, y) poate fi diferențiată continuu în raport cu y, atunci ca constantă Lipschitz putem lua cantitatea
Estima (3) cu constanta Lipschitz (4) se dovedește a fi prea brută pentru un număr de cazuri de a aplica cu succes metode numerice pentru rezolvarea problemei. în ciuda faptului că, teoretic, soluția acestei probleme există și este unică. Aceasta se întâmplă în special în acele cazuri în care valorile proprii ale matricei au o "răspândire mare", adică cea mai mare valoare proprie este sute sau chiar mii de ori mai mare decât cea mai mică valoare proprie. Se numește un astfel de sistem de ecuații diferențiale. sistemele rigide și problemele corespunzătoare - de problemele rigide ale lui Kosh și ale lui. Una dintre sursele de apariție a sistemelor rigide este reducerea ecuațiilor diferențiale parțiale la un sistem de ecuații diferențiale obișnuite, folosind metoda liniilor.
Metodele numerice pentru ecuațiile diferențiale obișnuite sunt, de regulă, una sau mai multe relații care leagă funcția necunoscută y (x) într-o secvență discretă până la punctul xk. k = 0, 1. setul care este numit. net. Bazele metodelor numerice, în general, și ecuațiile diferențiale, în special, au fost stabilite de L. Euler. Numele lui este una dintre cele mai simple metode de rezolvare a problemei. care constă în următoarele. Să presupunem că soluția problemei (1) într-o vecinătate a punctului xk este extinsă într-o serie Taylor
Dacă valoarea lui x-x k este mică, atunci aruncând termenii de ordine (x-xk) 2 și mai mult, obțineți o egalitate aproximativă
În punctul xk + 1, soluția aproximativă poate fi calculată din formula
Această relație este numită. metoda Euler.
Alte metode numerice au fost îmbunătățite semnificativ. Această evoluție a fost realizată în principal în două direcții: metode care mai târziu au primit numele de metode Runge-Kutta și metode cu diferențe finite, cel mai important reprezentant al căruia este metoda Adams.
Avantajele metodelor Runge-Kutta includ faptul că algoritmii obținuți pe baza lor sunt omogeni, adică nu se schimbă atunci când trec de la un punct al rețelei la celălalt. În plus, în metodele Runge-Kutta, este posibilă modificarea etapei de integrare în conformitate cu precizia de calcul cerută fără complicarea semnificativă a algoritmului în sine (vezi metoda Kutta-Merson, regula Runge). Pe baza acestor metode s-au creat metode bilaterale suficient de fiabile. Principalul dezavantaj este că, pentru a calcula o soluție aproximativă la un punct al rețelei, sunt necesare mai multe calcule ale feței drepte f (x, y) a ecuației diferențiale (1). Aceasta conduce, în special la componente complexe din dreapta, la o creștere semnificativă a timpului de calcul.
În metodele cu diferențe finite, inclusiv metoda Adams, este necesar un singur calcul al feței drepte pentru un nod de rețea. Acesta este principalul avantaj al metodelor de diferențiere finită. Cu toate acestea, pentru a începe calcularea oricărei formule de diferență finită, este necesar să se calculeze în prealabil "valori inițiale" suplimentare. Acest lucru conduce la faptul că algoritmul se dovedește a fi neomogen - primele câteva valori trebuie calculate prin alte formule. Un dezavantaj mai semnificativ al metodelor diferențiale finite este imposibilitatea de a schimba pur și simplu etapa de integrare, adică necesitatea de a utiliza grile cu un pas constant.
Pe baza metodelor de diferență finită sunt dezvoltate astfel. numit. metodele de predicție sunt rafinamente care sunt o pereche de formule de diferență finită, dintre care una (predictivă) este, de regulă, explicită, iar a doua (specifică) este implicită, de exemplu, prezice:
Metodele de predicție-rafinare găsesc o aplicație de succes în rezolvarea sistemelor rigide ale ecuațiilor diferențiale obișnuite. În ciuda faptului că ecuațiile diferențiale de ordin mai înalt se reduc formal la un sistem de ecuații de ordinul întâi, metodele adaptate la un anumit tip de ecuație diferențială se dovedesc uneori mult mai eficiente. În legătură cu aceasta, se dezvoltă metode de diferențiere finită folosind instrumente derivate de ordin superior, de exemplu, Metoda Stormer.
Lit. : [1] Beresin IS, Zhidkov, NP Metode de calcul, ed. t. 2, M. 1962; [2] Bakhvalov NS Metode numerice, ediția a 2-a. M. 1975; [3] Metode numerice moderne pentru ecuațiile diferențiale obișnuite, Oxf. 1976.
Enciclopedia matematică. - M. Enciclopedia sovietică IM Vinogradov 1977-1985
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: