Cele mai importante distribuții ale unei variabile aleatorii continue

Fig. 8. și pentru o distribuție uniformă

Probabilitatea de lovire uniform distribuită cu. în. X în intervalul este:

Cantități aleatorii care au o distribuție uniformă includ: timpul de așteptare pentru pasager să călătorească la un anumit interval; rotunjire la cel mai apropiat număr întreg de eroare (este distribuit uniform pe [-0.5, 0,5]), în valori aleatoare generale, cunoscute toate valorile se află într-un anumit interval de timp, și toate au aceeași probabilitate (densitate).







2. Continuu cu. în. X este distribuit conform legii exponențiale dacă densitatea de probabilitate are forma:

unde este parametrul de distribuție exponențială. Funcția de distribuție are forma:

Parcelele de densitate și funcțiile de distribuție pentru distribuția exponențială sunt prezentate în Fig. 9.

Fig. 9. și pentru distribuția exponențială

Probabilitatea de lovire a unei variabile aleatorii. distribuite în conformitate cu legea exponențială, în intervalul:

Asteptari matematice si variante pentru distributia exponentiala:

Distribuția exponențială este utilizată în aplicațiile teoriei probabilității, în special în teoria de așteptare, în fizică, în teoria fiabilității. Se utilizează pentru a descrie distribuirea unei cantități aleatorii dintr-un fel: durata funcționării dispozitivului până la prima defecțiune, durata timpului de serviciu în sistemul de așteptare și așa mai departe.

3. Distribuția normală (distribuția Gaussiană) este distribuția lui n. a. în. X. caracterizat prin densitatea de probabilitate:

unde este așteptarea matematică;

- deviația standard c. în. X.

Faptul că cu. în. X are o distribuție normală cu parametrii u. abreviat după cum urmează:

Funcția de distribuție are forma:

unde este funcția Laplace.

Parcelele de densitate și funcțiile de distribuție pentru distribuția normală sunt prezentate în Fig. 10.

Fig. 10. și pentru distribuția normală

Probabilitatea c. în. X ia valoarea care aparține intervalului este:

Modă și mediană pentru distribuția normală cu. în. X va fi egal cu :.

Coeficienții de asimetrie și exces sunt egali cu: și.

Legea normală respectă erorile de măsurare, cantitatea de uzură a pieselor în mecanisme, creșterea umană, erorile în fotografiere, cantitatea de zgomot din receptorul radio etc.

Probabilitatea c. în. X. Distribuit în conformitate cu legea normală, se abate de la așteptările sale matematice cu o sumă mai mică decât un număr pozitiv este egală cu:

A căzut în egalitate. obținem:

adică abaterea c. în. X din așteptările sale matematice este mai puțin decât în ​​aproape un anumit eveniment.

Obținem bine-cunoscuta "regulă de trei sigma". care pretinde că este în mod normal distribuit cu. în. X practic nu ia valori în afara intervalului.

1. Trenurile din această rută a tramvaiului orașului funcționează cu un interval de 5 minute. Pasagerul se oprește în orice moment. Care este probabilitatea ca un pasager să apară nu mai devreme de un minut după plecarea mașinii anterioare, dar nu mai târziu de două minute înainte de plecarea următorului tren? Găsește-o.







Soluția. Timpul de așteptare a trenului este de la. în. X. Având o distribuție uniformă de probabilitate. Din starea problemei; . Apoi, aplicând formula, obținem:

2. Timpul t de dizolvare a compoziției prin deal este o variabilă aleatorie supusă legii exponențiale. Fie - numărul mediu de trenuri, pe care dealul se poate desface pentru o oră. Determinați probabilitatea ca timpul de dizolvare al compoziției să fie mai mare de 6 minute. dar nu mai puțin de 24 de minute. Găsește-o.

Soluția. Folosind formula. găsim :.

3. Variabila aleatorie X - timpul de funcționare al becului are o distribuție exponențială. Determinați probabilitatea ca timpul de funcționare a lămpii să fie de cel puțin 600 de ore, dacă timpul mediu de funcționare este de 400 de ore.

Soluția. Prin condiția problemei, așteptarea c. în. X este de 400 de ore, deci (de atunci). Probabilitatea dorită. unde și. În cele din urmă ,.

4. Valoarea diviziunii scării ampermetrului este de 0,1 A. Citirea ampermetrului este rotunjită la cea mai apropiată diviziune întreagă. Găsiți probabilitatea ca o eroare mai mare de 0,02 A să se facă în timpul numărătoii inverse.

Soluția. Eroarea de rotunjire a probei poate fi considerată ca o variabilă aleatoare X. care este distribuită uniform în intervalul dintre două diviziuni întregi adiacente. Densitatea distribuției uniforme. unde este lungimea intervalului în care sunt cuprinse valorile posibile ale lui X; în afara acestui interval. În problema examinată, lungimea intervalului în care valorile posibile ale lui X sunt închise este de 0,1. Este ușor de observat că eroarea de citire va depăși 0,02 dacă se află în intervalul (0,02, 0,08).

5. Variabila aleatoare X este distribuită în conformitate cu legea normală. Așteptări matematice; dispersie. Găsiți probabilitatea ca, ca rezultat al testului, X să ia o valoare în intervalul (4; 7).

Prin condiția problemei, avem :. Înlocuirea acestor date în formula

6. Se consideră că devierea lungimii pieselor fabricate din standard este o cantitate aleatorie distribuită conform legii normale. Lungimea standard (așteptare), cm, deviația standard, vezi. Găsiți probabilitatea ca abaterea lungimii de la lungimea standard să nu depășească 0,6 cm în valoare absolută.

Soluția. Dacă X este lungimea părții, atunci de condiția problemei, această valoare trebuie să fie în interval. în cazul în care. Folosim formula:

Înlocuirea datelor obținute:

Prin urmare, probabilitatea ca piesele produse să fie în intervalul de la 39,4 până la 40,6 cm este 0,8888.

7. Diametrul pieselor fabricate de către instalație este o cantitate aleatorie distribuită în conformitate cu legea normală. Lungimea standard a diametrului este cm, deviația standard este. În ce limite este posibil să se garanteze practic lungimea diametrului acestei părți, dacă un eveniment este luat pentru o valabilitate, probabilitatea fiind de 0,9973.

Prin condiția problemei, avem:

Aplicând formula. obținem egalitatea:

sau. Conform tabelului. A.2 constatăm că funcția Laplace are o astfel de valoare pentru x = 3. Prin urmare; de unde. Astfel, se poate asigura că lungimea diametrului va varia între 2,47 și 2,53 cm.

8. Valorile aleatoare ale greutății cerealelor sunt distribuite în mod normal. Așteptarea greutății boabe este de 0,15 g, deviația standard egală cu 0,03 răsadurilor normale dau boabe a căror greutate este mai mare de 0,1 g Definire: a) procentul de semințe, din care pot fi așteptate răsadurilor normale; b) o valoare care să nu depășească greutatea unei cereale individuale cu o probabilitate de 0,99.

Să presupunem că c. în. X este greutatea cerealelor. Prin condiție.

a) Procentul de semințe care produc răsaduri normale este probabilitatea obținerii unei trageri normale din cereale luate la întâmplare. Prin condiție, germinarea normală apare în boabele cu o greutate mai mare de 0,1 g. În consecință, boabele a căror greutate corespunde condiției. da lăstari normali. Determinăm probabilitatea acestui eveniment.

Astfel, de la 95,2%, se așteaptă o traiectorie normală;

b) indicăm cantitatea necesară prin. O găsim din condiția sau. Se scrie expresia probabilității pe partea stângă în ceea ce privește funcția Laplace:

Prin urmare, găsim valoarea funcției Laplace :. Conform tabelului. A.2 găsim valoarea argumentului pentru valoarea funcției 0.49; atunci este de 2,33. de aici.

Astfel, greutatea cerealei preluate nu va depăși 0,22 g cu o probabilitate de 0,99.

9. Greutatea automobilului - cu. în. X. Sub rezerva legii normale de distribuție cu așteptarea matematică m, abaterea medie pătrată a m. Arătați îndeplinirea regulii "trei sigma".

Pentru a confirma regula celor trei semnale, descoperim întâi limitele deviației.

Probabilitatea de a lovi cu. în. X în intervalul (2.3, 7.7) este egal cu:

Prin urmare, regula de trei sigma este satisfăcută.







Trimiteți-le prietenilor: