Definiția. Derivatul drept (stâng) al funcției f (x) la punctul x = x0 este valoarea dreaptă (stângă) a limitei relației, cu condiția existenței acestei relații.
Dacă funcția f (x) are un derivat la un punct x = x0. atunci are derivate unilaterale în acest moment. Cu toate acestea, conversația nu este adevărată. În primul rând, funcția poate avea o discontinuitate la punctul x0. și în al doilea rând, chiar dacă funcția este continuă la punctul x0. aceasta nu poate fi diferențiată în ea.
Exemplu: f (x) = ïx ï are un derivat stâng și drept la punctul x = 0, este continuă în acest punct, cu toate acestea, nu are derivat în el.
Teorema (condiția necesară pentru existența unui derivat) Dacă funcția f (x) are un derivat la punctul x0. atunci este continuă în acest moment.
Este clar că această condiție nu este suficientă.
Regulile de bază ale diferențierii
1. Derivatul constantei este zero, adică . unde C este const.
2. Derivatul argumentului este 1, adică .
3. Derivatul sumei algebrice a unui număr finit de funcții diferențiate este egal cu aceeași sumă a derivatelor acestor funcții;
4. Derivatul produsului de două funcții diferențiate:
Corolar. Factorul constant poate fi considerat ca un semn al derivatului :. unde C este const.
5. Derivatul unor funcții parțial diferențiate:
cu condiția.
6. Derivat al unei funcții complexe, unde, unde y și u sunt funcții diferențiate ale argumentelor lor, este egal cu
Teorema. Pentru un derivat cu un derivat care nu este egal cu zero, derivatul funcției inverse este egal cu derivatul reciproc al derivatului funcției date; .
Derivații funcțiilor elementare de bază
Derivația funcției logaritmice:
Derivarea unei funcții exponențiale:
Derivația unei funcții de alimentare:
Derivații de funcții trigonometrice trigonometrice și inverse:
Derivatul funcției implicite este obținut prin diferențierea ambelor părți ale ecuației, considerând y ca funcție de x. și apoi din ecuația rezultată este:
Exemple. Găsiți derivatele funcțiilor:
4). Conversia acestei funcții prin deschiderea parantezelor :. .
5) Prin formula de diferențiere a unei funcții compuse, avem. unde derivă argumentul funcției sinusoidale.
6). Această funcție poate fi reprezentată în formular. De aici
7) Este convenabil să transformați această funcție folosind proprietățile logaritmilor :. Apoi.
Derivatele de ordine superioare
Derivatul este numit derivat de ordinul întâi. Cu toate acestea, derivatul în sine este o funcție care poate avea și un derivat.
Un derivat al ordinului n este derivatul ordinului derivat (n-1).
Denunțat de: etc.
Semnificația mecanică a celui de-al doilea derivat: al doilea derivat al traseului în timp este egal cu accelerarea punctului în momentul respectiv.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: