Menționăm că, având în vedere semnificația geometrică a integralului definitiv
În acest sens, obținem estimarea inițială a unui integral integrat.
Proprietatea 8. (Teorema valorii medii). Dacă funcția f (x) este continuă pe intervalul [a, b], atunci pe acest segment există un punct c, astfel încât se menține următoarea egalitate:
Rețineți că teorema medie înseamnă că zona trapezului curbilinar este egală cu aria dreptunghiului cu laturile f (c) și (b-a). Prin urmare, această teoremă are o mare importanță teoretică în fundamentarea metodelor numerice de integrare, deoarece, în esență, scopul principal al acestor metode este selectarea punctului c cât mai precis posibil.
3.4. Metode aproximative ale anumitor integrale
Metodele aproximative pentru calcularea integralelor definite se bazează pe faptul că un integral definitiv poate fi considerat ca zona unui trapez curbilinar. Suprafața unui astfel de trapez poate fi calculată dacă îl înlocuim cu o figură mai simplă: suma dreptunghiurilor, a trapezoidelor sau a altor figuri. Semnificația practică a unor astfel de metode constă în faptul că nu este întotdeauna posibilă calcularea cu exactitate a unui integral integrat. În plus, funcția integrand este adesea dată în formă tabulară sau chiar grafică. În aceste cazuri, pot fi utilizate numai metode aproximative. Vom cunoaște două dintre ele - metoda dreptunghiurilor și metoda trapezului.
3.4.1. Metoda de dreptunghiuri
Împărțim segmentul de integrare [a, b] în n părți egale cu punctele:
unde h = (b-a) / n este etapa de integrare. Înlocuiți acest trapez curbilinar cu o cifră în trepte formată din dreptunghiurile lor n (a se vedea figura 3.2). Valoarea zonei din această cifră va oferi o valoare aproximativă a integralului necesar:
Expresia rezultată se numește formula dreptunghiului.
Ca ci, putem alege atât limitele stânga (ci = xi-1) cât și dreapta (ci = xi) ale secțiunilor partiției. În acest caz, zona trapezoidului curbilinar va fi aproximativ egală cu suma zonelor dreptunghiurilor din stânga sau din dreapta. Metodele dreptunghiurilor stângi și drepte dau o valoare aproximativă a unui integral definit cu o precizie proporțională cu etapa de integrare h. Și una dintre metode dă valoarea integralului cu un exces și celălalt cu un defect. Prin urmare, ca o valoare mai exactă a integralului, putem lua media aritmetică a ambelor metode, iar diferența dintre ele va da eroarea de calcul. Am considerat această metodă în Exemplul 3.1.
De obicei, prin metoda dreptunghiurilor se înțelege cazul când punctele medii ale secțiunilor partiției sunt luate ca puncte ci, adică ci = (xi-1 + xi) / 2. În acest caz, eroarea în calculul unui integral integrat va fi proporțională cu h 2. un ordin de mărime mai mare decât cel al metodelor dreptunghiurilor stângi sau drepte.
Exemplul 3.2. O valoare aproximativa a integrala
Soluția. Împărțim intervalul [0; 1] în 10 părți egale. Să găsim mijlocul lui ci și valoarea funcției în aceste puncte pe fiecare segment. Să facem masa
Eroarea este de aproximativ 0,0004.
3.4.2. Metoda trapezelor
Cea de-a doua modalitate simplă de calculare aproximativă a anumitor integrale este metoda trapezoidală, care constă în faptul că dungile verticale nu sunt înlocuite de dreptunghiuri, ci de trapezoizi. Cu alte cuvinte, graficul funcției f (x) este înlocuit cu o linie întreruptă (a se vedea Figura 3.5).
Ca rezultat, aria întregii cifre va consta în pătrate de trapezoide rectilinii. Suprafața fiecărui astfel de trapez este egală cu produsul jumătății sumelor bazelor până la înălțime:
unde yi = f (xi). Apoi, formula quadrature a trapezoidelor va avea forma
Rețineți că eroarea de integrare numerică este determinată de etapa de integrare, pentru metoda trapezoidală eroarea este, de asemenea, proporțională cu h 2. Prin reducerea etapei de integrare, este posibilă obținerea unei precizii mari a calculelor.
Exemplul 3.3. Găsiți prin formula trapezoidală o valoare aproximativă a integratului
Soluția. Împărțim intervalul [0; 1] în 10 părți egale. În fiecare punct găsim valoarea funcției. Să facem masa
Eroarea este, de asemenea, aproximativ 0,0004.
ÎNTREBĂRI PENTRU RECUPERAREA DE AUTO
1. Cum se compilează sumele integrale?
2. Suma integrală depinde de modul în care segmentul este împărțit? din calea de selectare a punctelor intermediare?
3. Ce este un integral integrat? Ce este fundamental diferit de cel incert?
4. Integrarea definită depinde de modul în care segmentul este împărțit? din calea de selectare a punctelor intermediare?
5. Dovedește și demonstrează proprietatea liniară a anumitor integrale?
6. Formulează proprietățile unui integral definit care nu sunt caracteristice integralelor nedefinite?
7. Descrieți metoda dreptunghiurilor pentru calculul numeric al anumitor integrale?
8. Descrieți metoda trapezoidală pentru calculul numeric al anumitor integrale?
EXERCIȚII ȘI SARCINI
1. Lăsați dependența volumului de vânzări a unei mărfuri să fie dată de o funcție
Apoi volumul total de vânzări Q este egal cu aria figurii umflate (figura 3.6), adică din nou în zona trapezoidului curbilinar și putem aplica aceeași metodă de epuizare pentru determinarea aproximativă a Q. Calculați suprafața trapezoidului curbilinar Q prin metoda de epuizare.
2. Calculați prin formulele de dreptunghiuri și trapezii pentru n = 10 integrale:
3. Gasiti valoarea maxima a sumei integrale a unei functii pe interval
[0; 1] dacă numărul de segmente al partiției este 4.
4. Fără a calcula integralele, aflați care dintre integrale este mai mare:
Trimiteți-le prietenilor: