Accesați cuprinsul paginii: 19
Manualul metodologic oferă o clasificare a metodelor de rezolvare a SLAU și a algoritmilor pentru aplicarea acestora. Metodele sunt date într-o formă care permite utilizarea lor fără referire la alte surse. Se presupune că matricea sistemului nu este singulară, adică det A 6 = 0.
§ 1. Normele vectorilor și matricelor
Reamintim că un spațiu liniar Ω al elementelor lui x se spune că este normalizat dacă funcția k · k Ω este introdusă în el. definită pentru toate elementele lui Ω și care îndeplinește următoarele condiții:
1. kxk Ω ≥ 0 și kxk Ω = 0 x = 0 Ω;
2. kλxk Ω = | λ | · Kxk Ω;
3. kx + yk Ω ≤ kxk Ω + kyk Ω.
Sunt de acord notat în continuare prin litere latine mici vectori, în plus, presupunem lor coloane vectori, cu majuscule denota matrici și litere grecești devin denota valoare scalară (păstrând literele i, j, k, l, m, n denotă numere întregi) .
Printre cele mai frecvent utilizate norme ale vectorilor sunt următoarele:
Aici, prin λ i (A T A) reprezintă o valoare proprie a matricei A T A, unde A T - transpusa matrice A. Pe lângă cele trei proprietăți menționate mai sus de bază ale normei, observăm aici sunt două mai multe:
iar în ultima inegalitate norma matricei este subordonată normei vectoriale corespunzătoare. Să fim de acord să folosim în viitor numai normele matricelor, supuse normelor vectorilor. Observăm că pentru astfel de norme, egalitatea deține: dacă E este matricea identității, atunci kEk = 1.
§ 2. Matrice cu predominanță diagonală
Definiție 2.1. O matrice A cu elemente n i, j = 1 este numită matrice cu predominanță diagonală (valori δ). dacă se mențin următoarele inegalități
| a ii | - | a ij | ≥ δ> 0, i = 1, n.
Accesați cuprinsul paginii: 19
§3. Mase pozitive definite
Definiție 3.1. Se va numi o matrice simetrică A
dacă forma triunghiulară x T Ax cu această matrice ia doar valori pozitive pentru orice vector x 6 = 0.
Criteriul pentru definitivitatea pozitivă a unei matrice poate fi pozitivitatea propriilor valori sau pozitivitatea minorilor săi principali.
§4. Numărul de condiționalități al ULAU
La rezolvarea oricărei probleme, după cum se știe, există trei tipuri de erori: eroare nerecuperabilă, eroare metodică și eroare de rotunjire. Să analizăm influența erorii inamovibile a datelor inițiale asupra soluției SLAE, neglijând eroarea de rotunjire și ținând seama de absența unei erori metodice.
Presupunem că în SLAU
unde ν (A) = kAkkA -1 k.
VA numărul (A) se numește numărul starea sistemului (4.1) (sau matricea A). Se pare că întotdeauna ν (A) ≥ 1 pentru orice matrice A. Deoarece amploarea numărului de starea matricei depinde de alegerea normelor, selectarea regula particular va indexa în consecință și ν (A). ν 1 (A), ν 2 (A) sau ν ∞ (A).
În cazul v (A) 1, sistemul (4.1) sau matricea A se numește nepotrivit. În acest caz, după cum rezultă din estimare
Accesați cuprinsul paginii: 19
(4.2). eroarea în soluția sistemului (4.1) se poate dovedi a fi inacceptabil de mare. Conceptul de admisibilitate sau de inadmisibilitate a erorii este determinat de afirmația problemei.
Pentru o matrice cu predominanță diagonală, este ușor să obțineți o estimare a numărului de condiționalități de sus. Are loc
TEOREM 4.1. Fie A o matrice cu predominanță diagonală de δ> 0. Apoi nu este singulară și ν ∞ (A) ≤ kAk ∞ / δ.
§5. Un exemplu de sistem slab condiționat.
Să luăm în considerare SLAE (4.1). în care
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: