Condiții de degenerare echivalente [editați] edita wiki-text]
Utilizarea diferitelor concepte de algebră liniară. putem da diferite condiții pentru degenerare:
- Rândurile sau coloanele matricei sunt dependente liniar. Cu alte cuvinte, într-o matrice degenerată există cel puțin două rânduri (sau două coloane) x i _ >>> și x j. _, >>> corespunzător condiției a x i = x j. _ = _, >>>>> unde a este un scalar. În particular, orice matrice pătrată care conține o coloană zero sau un rând este degenerată.
- O matrice pătrată A este degenerată dacă și numai dacă. atunci când există un vector nonzer x. astfel încât A x = 0. Cu alte cuvinte, un operator liniar. Matricea corespunzătoare matricei în bază standard are un kernel nonzero.
- O matrice pătrată A este degenerată dacă și numai dacă. când are cel puțin o valoare proprie zero # x03BB; = 0. Aceasta rezultă din ecuația că toate valorile proprii ale matricei satisfac: det (A # x2212; # x03BB; E) = 0 (unde E este matricea identității) și de asemenea faptul că determinantul matricei este egal cu produsul propriilor valori.
Proprietăți [editează edita wiki-text]
- Matricea degenerată nu are o matrice inversă standard. În același timp, matricea degenerată are o matrice pseudo-inversă (matrice inversă generalizată) sau chiar un număr infinit de matrici.
- Rangul matricei degenerate este mai mic decât dimensiunea sa (numărul de rânduri).
- Produsul unei matrice degenerate și orice matrice pătrată cu aceeași dimensiune dă o matrice degenerată. Aceasta rezultă din proprietatea det (A B) = det (A) # x22C5; det (B). O matrice degenerată, ridicată la orice nivel pozitiv, rămâne degenerată. Produsul din orice număr de matrice este degenerat dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este degenerat. Produsul matricelor nondegenerate nu poate fi degenerat.
- matrice singular transpoziție lasă degenerat (deoarece transpunerea nu schimbă determinantul, det (A T) = det (A)) = \ det (A)>).
- Înmulțirea unei matrici degenerate de către o scalară frunză devine (din moment ce # x03B1; A) = # x03B1; n det (A) = 0 \ det (A) = 0>. unde n este dimensiunea matricei degenerate A. α este scalar).
- Conjugat transpune matrice degenerate degenerate (din conjugat determinant transpune complex conjugat de determinantul matricei originale și, prin urmare, este zero).
- Matricea sindicală (reciprocă, adiacentă) a matricei degenerate este degenerată (aceasta rezultă din proprietatea matricelor unite det (adj # x2061; (A)) = (det A) n # x2212; 1 (A)) = (\ det A) ^>). Produsul matricei degenerate de către aliații matrici dă o matrice zero. A # x22C5; adj # x2061; (A) = adj # x2061; (A) # x22C5; A = 0. (A) = \ operatorname (A) \ cdot A = 0, deoarece pentru o matrice pătrată arbitrară A # x22C5; adj # x2061; (A) = adj # x2061; (A) # x22C5; A = det (A) # x22C5; E. (A) = \ numele operatorului (A) \ cdot A = \ det (A) \ cdot E.>
- O matrice triunghiulară (și, în special, diagonală) este degenerată dacă și numai dacă cel puțin unul dintre elementele sale pe diagonala principală este zero. Aceasta rezultă din faptul că determinantul unei matrice triunghiulare este egal cu produsul elementelor de pe diagonala sa principală.
- Dacă matricea A este degenerată, atunci sistemul de ecuații A x = 0 are soluții nonzero.
- O permutare a rândurilor sau a coloanelor matricei degenerate dă o matrice degenerată.
- O matrice degenerată privită ca un operator liniar. cartografiază un spațiu vectoric în subspațiul său de dimensiuni mai mici.
Cazuri speciale [edit] edita wiki-text]
Matricile degenerate sunt, în special:
- zero matrice (constând doar din zerouri);
- o matrice de unități (constând dintr-o unitate) pentru o dimensiune n> 1;
- matrici nilpotent (matrice de orice grad natural de care este o matrice zero);
- formele de forfecare (un subset de matrici nilpotent);
- matricea Vandermonde. dacă cel puțin doi dintre parametrii săi coincid;
- Matricele Gell-Mann în reprezentarea standard (cu excepția λ8);
- Matricea Kirchhoff (cunoscută și ca matricea Laplace) este o reprezentare matrice a graficului.
Vezi și [editați] edita wiki-text]
Literatură [editați] edita wiki-text]
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: