Combinatorica este o ramură a matematicii în care se calculează modalitățile de numărare a numărului de elemente în seturi finite. Formulele combinatorice sunt utilizate pentru calcularea directă a probabilităților.
Seturi de elemente care constau în aceleași elemente diferite și care se deosebesc una de alta numai în ordinea lor se numesc permutări ale acestor elemente. Numărul de permutări posibile ale elementelor n este notat cu = ((citiți enfactorial), unde. de exemplu. .
Notă - Pentru un set gol, este acceptat un acord - un set gol poate fi comandat într-un singur mod; prin definiție, cred.
Destinațiile de plasare (sau eșantioanele ordonate fără întoarcere) sunt numite seturi compuse din n elemente distincte cu elemente m care diferă fie în compoziția elementelor, fie în ordinea lor. Numărul tuturor alocărilor posibile este determinat de formula (plasarea elementelor m din n este citită).
Combinații (sau eșantioane aleatorii fără înlocuire) de n diferite elemente ale setului sunt numite m-va conține m elemente de n dorite și Xia care distinge cel puțin un membru. Numărul de combinații de elemente n peste m înseamnă :. Acest număr este exprimat prin formula (se citește combinația de elemente m din n).
Rețineți că numărul de permutări, destinații de plasare și combinații sunt legate de egalitate.
Observație - Sa presupus mai sus că toate n elementele sunt diferite. Dacă se repetă unele elemente, în acest caz seturile cu repetări sunt calculate de alte formule.
De exemplu, dacă printre elemente există elemente de un fel, elemente de altă natură etc., atunci numărul de permutări cu repetări este determinat de formula. unde + +. + =.
Probele comandate, ale căror elemente pot fi repetate, se numesc probe comandate cu returnări. Numărul tuturor modurilor posibile de alegere a elementelor m ale elementelor n este determinat de formula.
Eșantioanele neordonate, ale căror elemente pot fi repetate, se numesc eșantioane neordonate cu randamente. Numărul tuturor modurilor posibile de alegere a elementelor m ale elementelor n este determinat de formula.
În rezolvarea problemelor combinatorica folosește următoarele reguli.
Regula sumelor. Dacă un obiect A poate fi selectat dintr-o multitudine de obiecte de formă m moduri, iar un alt obiect B poate fi selectat dintr-un set de obiecte de acest tip n moduri, selectați fie A sau B poate fi m + n moduri.
Regula de lucru. Dacă obiectul A poate fi selectată dintr-un set de obiecte de acest tip mijloace t și după fiecare selecție de obiect B poate fi selectat dintr-un set de obiecte de acest tip n mijloc, perechea de obiecte (A, B), în această ordine mo-Jette fi selectat m • n moduri.
Pentru a calcula numărul de combinații, este convenabil să utilizați tabelul 1.
Tabelul 1 - Metode de selectare a elementelor m din elemente n
a) că sunt figurile 1 și 2;
b) că sunt numere ciudate și diferite;
c) numai că numerele sunt ciudate.
Soluția. a) Spațiul de rezultate elementare ale acestui experiment constă din 2 elemente: W =, (n = 2).
Toate rezultatele elementare dintr-un spațiu dat W sunt echivalente. Astfel, pentru a determina probabilitățile tuturor evenimentelor asociate cu acest experiment, putem folosi metoda clasică de determinare a probabilității. Numărul de rezultate favorabile evenimentului A = este 1, deoarece atunci când tastați o singură combinație de numere, numărul va fi corect introdus: m = 1.
Rezolvăm această problemă folosind formulele combinatoriale.
Să calculam numărul de modalități de a alege două cifre din două - eșantionul este ordonat, fără returnare :. (n = 2). Numărul de rezultate favorabile evenimentului A este egal cu 1, deoarece atunci când tastați o singură combinație de numere, numărul va fi corect introdus: m = 1.
b) Spațiul de rezultate elementare ale acestui experiment constă din elementele:
Toate rezultatele elementare dintr-un spațiu dat W sunt echivalente. Astfel, pentru a determina probabilitățile tuturor evenimentelor asociate cu acest experiment, putem folosi metoda clasică de determinare a probabilității. Numărul de rezultate favorabile evenimentului B = este 1, deoarece atunci când tastați o singură combinație de numere, numărul va fi corect introdus: m = 1.
Rezolvăm această problemă folosind formulele combinatoriale.
Să calculăm numărul de moduri de a selecta două cifre din cinci (1, 3, 5, 7, 9) - eșantionul este comandat, fără returnare. (n = 20). Numărul de rezultate favorabile evenimentului B este egal cu 1, deoarece atunci când tastați o singură combinație de numere, numărul va fi corect introdus: m = 1.
c) Spațiul de rezultate elementare ale acestui experiment constă din elementele:
Toate rezultatele elementare dintr-un spațiu dat W sunt echivalente. Astfel, pentru a determina probabilitățile tuturor evenimentelor asociate cu acest experiment, putem folosi metoda clasică de determinare a probabilității. Numărul de rezultate favorabile evenimentului C = este 1, deoarece atunci când tastați doar o combinație de cifre, numărul va fi corect introdus: m = 1.
Rezolvăm această problemă folosind formulele combinatoriale.
Să calculam numărul de modalități de selectare a două cifre din cinci (1, 3, 5, 7, 9) - eșantionul este comandat, cu randamentul :. (n = 25). Numărul de rezultate favorabile evenimentului C este 1, deoarece atunci când tastați doar o singură combinație de numere, numărul va fi corect introdus: m = 1.
Exemplul 10 Pe cinci cărți identice scrise litere: k, n, u, d, a. Cardurile sunt amestecate și extrase aleatoriu unul câte unul, plasându-se unul pe altul pe masă. Care este probabilitatea de a obține cartea de cuvinte?
Să calculam numărul de modalități de rearanjare a cinci cărți :. (n = 120). Numărul de rezultate favorabile evenimentului A. este 1: m = 1.
Exemplul 11 Pe zece cărți identice scrise litere: m, a, t, e, m, a, t, u, k, a. Cardurile sunt amestecate și extrase aleatoriu unul câte unul, plasându-se unul pe altul pe masă. Care este probabilitatea de a obține cuvântul matematician?
Să calculam numărul de căi de permutare a zece cărți cu repetiții conform formulei. . unde k = 2 (numărul de litere m repetări) = 3 (numărul de repetiții ale literei a) = 2 (numărul de repetiții ale litera T) = 1 (numărul de repetiții litere e) = 1 (număr de litere repetări u) = 1 (numărul repetarea literei k).
Numărul de rezultate favorabile evenimentului A. este 1: m = 1.
Exemplul 12 În departament există 3 femei și 4 bărbați. Printre angajații departamentului se află 3 bilete la teatru. Care este probabilitatea ca printre titularii de bilete să fie:
b) 1 bărbat și 2 femei?
Numărul total de posibile rezultate ale testelor elementare este egal cu numărul de moduri în care puteți distribui 3 bilete între 7 persoane, eșantionul fiind neordonat fără returnare :.
Definiți numărul de rezultate care favorizează evenimentul A, adică numărul de modalități de distribuire a 3 bilete între 3 femei :.
Probabilitatea evenimentului este A P (A) =.
Numărul total de posibile rezultate de testare elementare este egal cu numărul de modalități prin care puteți distribui 3 bilete între 7 persoane, eșantionul fiind neordonat fără returnare.
Se determină numărul de rezultate favorabile la evenimentul B, care este numărul de moduri de distribuire a 3 bilete, inclusiv 1 mascul și 2 femele: (numărul de bărbați din 4 care se poate obține un bilet este 4), iar numărul echipelor de două femei de 3, care pot obține bilete în teatru, este egal.
Produsul = 12 este egal cu numărul de cazuri favorizate de distribuire a trei bilete în rândul angajaților departamentului, astfel încât un bilet este primit de un bărbat și de doi de către o femeie.
Probabilitatea evenimentului este P (B) =.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: