Derivatul sinusului unghiului este egal cu cosinusul cu același unghi

Având în vedere cea mai simplă funcție trigonometrică y = Sin (x), ea poate fi diferențiată la fiecare punct din întregul domeniu al definiției. Este necesar să se demonstreze că derivatul sinusului oricărui argument este egal cu cosinusul cu același unghi, adică y '= cos (x).







Derivatul sinusului unghiului este egal cu cosinusul cu același unghi

Dovada se bazează pe definiția derivatului funcției

Definim x (arbitrar) în unele cartiere mici δx ale unui anumit punct x0. Să arătăm valoarea funcției în ea și la punctul x pentru a găsi creșterea unei funcții date. Dacă bH - increment argument, un nou argument - este x0 + Ax = x, valoarea acestei funcții pentru o anumită valoare a argumentului y (x) este egal cu Sin (x0 + Ax), valoarea funcției la un anumit punct în (x0) este de asemenea cunoscută.

Acum avem δy = Sin (x0 + δx) -Sin (x0) este incrementul funcției obținute.

Prin formula sinusă a sumei a două unghiuri inegale, vom transforma diferența δy.

Sin = AU (x0) · Cos (bH) + Cos (x0) · Sin (Ax) minus Sin (x0) = (Cos (Ax) -1) · Sin (x0) + Cos (x0) · Sin (bH) .

Permutarea permutată a termenilor, grupată pe prima cu cea de-a treia Sin (x0), a purtat un multiplicator comun - sine - pentru paranteze. Am obținut în expresie diferența Cos (δx) -1. Rămâne să schimbați semnul din fața brațului și în paranteze. Știind ce este 1-Cos (δx), facem o substituție și obținem o expresie simplificată δy, pe care apoi o împărțim cu δx.
Δy / δx va avea forma: Cos (x0) · Sin (δx) / δx-2 · Sin 2 (0,5 · δx) · Sin (x0) / δx. Acesta este raportul creșterii funcției la incrementul permis al argumentului.

Rămâne să se găsească limita relației lim obținută pentru tx tinând la zero.

Derivatul sinusului unghiului este egal cu cosinusul cu același unghi






Se știe că limita Sin (δx) / δx este egală cu 1, în această condiție. Iar expresia 2 · Sin 2 (0,5 · bH) / bH în care rezultă suma transformărilor speciale pentru produs care conține ca prim multiplicator limita remarcabilă: numărătorul fracției și znemenatel divide cu 2, pătratul sinusul înlocui produsul. Aici:
(Sin (0,5 · δx) / (0,5 · δx)) · Sin (δx / 2).
Limita acestei expresii pentru Δx tinzând la zero va fi egală cu numărul zero (1 înmulțit cu 0). Se pare că limita raportul Dy / bH egal cu Cos (x0) · 1-0, acest lucru este Cos (x0), o expresie care nu depinde de bH tinde la 0. Concluzia este că derivata sinusul orice unghi x este egal cu cosinusul x , scriem aceasta ca y '= Cos (x).

Formula rezultată este introdusă în tabelul cunoscut al derivatelor, unde toate funcțiile elementare

Derivatul sinusului unghiului este egal cu cosinusul cu același unghi

La rezolvarea problemelor în care derivă un sinus, se pot folosi regulile de diferențiere și formulele gata făcute din tabel. De exemplu: găsiți derivatul celei mai simple funcții y = 3 · Sin (x) -15. Folosim regulile elementare de diferențiere, eliminarea factorului numeric în spatele semnului derivatului și calculul derivatului unui număr constant (este zero). Aplicăm valoarea tabelară a derivatului sinusului al unghiului x, egal cu Cos (x). Avem răspunsul: y '= 3 · Cos (x) -O. Acest derivat, la rândul său, este de asemenea o funcție elementară y = 3 · Cos (x).

Derivatul sinusului este pătrat de la orice argument

La calcularea acestei expresii (Sin 2 (x)) ', este necesar să ne amintim cum este diferențiată funcția complexă. Deci, y = sin 2 (x) - este o funcție de putere, deoarece sinusul este pătrat. Argumentul său este de asemenea o funcție trigonometrică, un argument complex. Rezultatul în acest caz este egal cu produsul al cărui prim factor este derivatul pătratului argumentului complex dat, iar al doilea este derivatul sinusului. Acesta este modul în care regula pentru diferențierea unei funcții a unei funcții arata astfel: (u (v (x))) 'este (u (v (x)))' (v (x)) '. Expresia v (x) este un argument complex (funcția internă). Dacă funcția "igrok este egală cu sinusul în pătratul x" este dată, atunci derivatul acestei funcții complexe este y '= 2 · Sin (x) · Cos (x). În produs, primul multiplicator dublat este derivatul funcției cunoscute de putere, iar Cos (x) este derivatul sinusului, argumentul unei funcții complexe patratice. Rezultatul final poate fi transformat utilizând formula sine trigonometrică a unghiului dublu. Răspuns: derivatul este Sin (2 · x). Această formulă este ușor de reținut, este adesea folosită ca tabel.

Derivatul sinusului unghiului este egal cu cosinusul cu același unghi







Trimiteți-le prietenilor: