Răspunsul este: a) 0; b) 1, din moment ce 9 dă restul 1 când este împărțit la 8.
Dovada că n + 2n este divizibil cu 3 pentru orice număr întreg pozitiv n.
Numărul n poate da unul din cele trei reziduuri la diviziune cu 3: 0, 1, 2. Considerăm trei cazuri.
Dacă n dă un rest de 0, atunci nn și 2n sunt divizibili cu 3, și deci n3 + 2n este, de asemenea, divizibil cu 3.
Dacă n dă restul 1, atunci n3 dă restul 1, 2n este restul 2 și 1 + 2 este împărțit la 3.
Dacă n dă restul 2, atunci n2 dă restul 1, n³ este restul 2, 2n este restul 1, iar 2 + 1 este împărțit la 3.
Dovada că n 5 + 4n este divizibil cu 5 pentru orice număr întreg pozitiv n.
Notă: Deplasați restul diviziei cu 5.
Dovada că n² + 1 nu este divizibil cu 3 pentru orice număr întreg pozitiv n.
Sortați restul diviziei cu 3.
Dovada că nφ + 2 nu este divizibilă de 9 pentru orice număr întreg pozitiv n.
Sortați restul diviziei cu 9.
Dovada ca nφ - n este divizibil de 24 pentru orice n.
Notă: Dovediți ca acest număr să fie divizibil cu ambele 3 și 8.
a) Dovada că p² - 1 este divizibil cu 24 dacă p este prime și p> 3.
b) Dovada că p² - q² este divizibil cu 24 dacă p și q sunt prime numere mai mari de 3.
Notă: Dovediți ca aceste numere să fie divizibile atât la 3, cât și la 8.
Numerele naturale x, y, z sunt astfel încât x² + y² = z². Dovedește că cel puțin unul dintre aceste numere este divizibil cu 3.
Dacă nici x, nici y nu este divizibil cu 3, atunci x² și y2 dau restul 1 din diviziune cu 3. Astfel, suma lor are un rest de 2 din diviziunea cu 3. Dar z² nu poate avea un astfel de rest.
a și b sunt numere naturale, iar numărul a² + b² este divizibil cu 21. Se dovedește că este divizibil de 441.
Verificați dacă atât a, cât și b sunt împărțite în 3 și 7.
a, b, c sunt numere întregi pozitive și a + b + c este divizibilă cu 6. Dovediți că aφ + bφ + cφ este, de asemenea, divizibil cu 6.
Verificați dacă numerele x și x au același rest al diviziunii cu 6.
Trei numere prime p, q și r, mai mari de 3, formează o evoluție aritmetică: p = p, q = p + d, r = p + 2d. Dovada că d este divizibil până la 6 ani.
Dacă d este ciudat, atunci între numerele p și q există un număr par, ceea ce este imposibil. Dacă d nu este divizibil cu 3, atunci între numerele p, q și r este divizibil cu 3, ceea ce este și imposibil.
Dovada că suma pătratelor a trei numere naturale, redusă cu 7, nu este divizibilă de 8.
Găsiți eventuale reziduuri de pătrate atunci când se împart cu 8.
Suma a trei numere naturale care sunt pătrate exacte este divizibilă prin 9. Dovediți că două dintre ele pot fi alese, diferența dintre care este de asemenea divizibilă de 9.
Posibile reziduuri de pătrate din diviziune cu 9: 0, 1, 4, 7. Verificați dacă suma a trei dintre ele este împărțită la 9, atunci dintre ele există două identice.
Găsiți ultima cifră din 1989 1989.
Observați mai întâi că ultima cifră a datei 1989 1989 coincide cu ultima cifră a numărului 9 1989. Scriem ultimele cifre ale mai multor grade inițiale ale numărului 9: 9, 1, 9, 1, 9, ....
De când se găsește ultima cifră a puterii următoare de 9, este suficient să se înmulțească doar cu 9 ultima cifră a gradului precedent, atunci este clar că 9 implică 1 (9 # 149; 9 = 81), iar pentru 1-9 (1 # 149; 9 = 9).
Astfel, gradele impare ale celui de-al nouălea se termină la 9. De aceea, ultima cifră din 1989 1989 este nouă.
Găsiți ultima cifră a numărului 2 50.
Scriem ultimele cifre ale mai multor puteri inițiale de două: 2, 4, 8, 6, 2, .... Vedem că 2 5, precum și 2 1, se termină cu 2. Deoarece următoarea cifră este complet determinată de ultima cifră a gradului anterior, apare o "buclă": 2 6 (ca 2 2) se termină la 4, 2 7 ) - cu 8, 2 8 - cu 6, 2 9 - cu 2, etc. Deoarece lungimea ciclului este 4, ultima cifră a numărului 2 50 este determinată de restul de a împărți numărul 50 cu 4. Deoarece este 2, ultima cifră a numărului 2 50 este ultima cifră a numărului 2 2, adică 4.
Pe ce număr se termină numărul 777 777?
Găsiți restul de împărțire 2ººº până la 3.
Scrie restul diviziunii cu 3 din mai multe puteri inițiale de două. Dovediți că există un "buclă" aici.
Găsiți restul diviziei 3 din 1989 până la 7.
Dovedeste ca 2222 5555 + 5555 km patrati este impartit in 7.
Calculați restul de împărțire a acestui număr cu 7 și asigurați-vă că este zero.
Găsiți ultima cifră a numărului.
a) p, p + 10, p + 14 sunt numerele prime. Găsiți p.
b) p, 2p + 1, 4p + 1 sunt numere prime. Găsiți p.
Luați în considerare restul de împărțire cu 3. Unul dintre aceste numere este împărțit la 3. a) p = 3; b) p = 3.
p și 8p² + 1 sunt numere prime. Găsiți p.
p și p 2 + 2 sunt numere prime. Dovedeste ca pφ + 2 este, de asemenea, un numar prim.
Dovedeste ca p = 3.
Dovada că nu există numere întregi pozitive a și b astfel încât a² - 3b² = 8.
Luați în considerare restul mod 3.
a) Suma pătratelor a două numere impare este o pătrată de un număr întreg?
b) Suma pătraturilor a trei numere impare este o pătrată a unui întreg?
Verificați dacă restul pătratului unui număr impar din diviziunea cu 4 este 1, iar restul pătratului unui număr par va fi 0.
Dovada că suma pătratelor a cinci numere naturale consecutive nu este o pătrată exactă.
Verificați dacă restul pătratului unui număr impar din diviziunea cu 4 este 1, iar restul pătratului unui număr par va fi 0.
p, 4p² + 1 și 6p² + 1 sunt numere prime. Găsiți p.
Răspuns: p = 5. Luați în considerare restul atunci când împărțiți cu 5.
Dovedeste ca numarul 100 ... 00500 ... 001 (in fiecare din cele doua grupe de 100 de zerouri) nu este un cub intreg.
Acest număr dă restul 7 din diviziune cu 9.
Dovada că a³ + b³ + 4 nu este un cub întreg pentru orice a și b natural.
Aflați ce rest se poate numi numărul a3 + b³ + 4 din diviziunea cu 9.
Dovada că numărul 6n3 + 3 nu este a șasea putere a unui întreg pentru orice număr natural n.
Aflați ce restul poate da numărul 6n³ + 3 din diviziune cu 7.
x, y, z sunt numere naturale, cu x² + y² = z². Dovedește că xy este divizibil până la 12.
Dacă nici unul dintre numerele x, y nu este divizibil cu 3, atunci rest z² dă 2 când împărțit la 3, ceea ce este imposibil. Observați acum că pătratul unui număr impar, atunci când împărțit la 8 dă un rest 1, patratul chiar număr nu este divizibil cu 4, - reziduuri 4 pătrat divizibil cu 4, - rest 0. Demonstrati că fie x și y sunt ambele chiar sau printre ei este un multiplu de 4.
Trimiteți-le prietenilor: