Unitatea imaginară

În matematică, fizică, unitatea imaginară este desemnată latină $eu$ sau $j$. Aceasta ne permite să extindem domeniul numerelor reale la câmpul numerelor complexe. Definiția exactă depinde de metoda de expansiune.

Motivul pentru introducerea unei unități imaginare este că nu fiecare ecuație polinomială $f\; (x)\; =\; 0$ cu coeficienți reali are soluții în domeniul numerelor reale. Astfel, ecuația $x\; ^\; 2\; +\; 1\; =\; 0$ nu are rădăcini reale. Totuși, se pare că orice ecuație polinomială cu coeficienți complexi are o soluție complexă - "Teoria principală a algebrei".

Din punct de vedere istoric, unitatea imaginară a fost introdusă pentru a rezolva ecuația cubică reală. Adesea, în prezența a trei rădăcini reale, pentru a obține două dintre ele formula lui Cardano necesară pentru a lua rădăcina cubică în numere complexe.

Afirmația că unitatea imaginară este "rădăcina pătrată a -1" nu este exactă: la urma urmei, "-1" are două rădăcini pătrate, dintre care una poate fi desemnată drept "i", iar cealaltă ca "-i". Ce rădăcină este considerată o unitate imaginară este lipsită de importanță: toate egalitățile vor rămâne în vigoare dacă toate "i" vor fi înlocuite cu "i" și "-i" cu "i". Cu toate acestea, din cauza acestei ambiguități, pentru a evita calculele greșite, nu ar trebui să folosiți notația pentru $eu$ prin radical (ca $\backslash \; sqrt$).

definiție

O unitate imaginară este un număr al cărui pătrat este -1. Ie $eu$ Este una dintre soluțiile de ecuație

$x\; ^\; 2\; +\; 1\; =\; 0,$ sau $x\; ^\; 2\; =\; -1.$

Și apoi a doua soluție a ecuației este $-eu$, care este verificată prin substituire.

Gradurile unității imaginare

grade $eu$ repetată în ciclu:

$\backslash \; ldots$ $i\; ^\; =\; i$ $i\; ^\; =\; -1$ $i\; ^\; =\; -i$ $i\; ^\; 0\; =\; 1$ $i\; ^\; 1\; =\; i$ $i\; ^\; 2\; =\; -1$ $i\; ^\; 3\; =\; -i$ $i\; ^\; 4\; =\; 1$ $\backslash \; ldots$

Ce poate fi scris pentru orice grad sub forma:

$i\; ^\; =\; 1$ $i\; ^\; =\; i$ $i\; ^\; =\; -1$ $i\; ^\; =\; -i.$

unde n este orice număr întreg.

Număr de $i\; ^\; i$ este reală.

$I!\; =\; \backslash \; Gamma\; (1\; +\; i)\; \backslash \; aproximativ\; 0,4980\; -\; 0,1549i.$

Rădăcinile sunt cubice din unitatea imaginară (vârfurile triunghiului)

În domeniul numerelor complexe, n-a rădăcină are n soluții. Pe planul complex, rădăcinile unității imaginare se află la vârfurile n-gonului obișnuit. înscris într-un cerc cu o rază a unității.

Acest lucru rezultă din formula lui Moivre și din faptul că unitatea imaginară poate fi reprezentată într-o formă trigonometrică:

De asemenea, rădăcinile unității imaginare pot fi reprezentate într-o formă indicativă:

Alte unități imaginare

În construcția Cayley-Dickson (sau în algebrele Clifford) pot exista mai multe "unități imaginare de extensie", și / sau pătratele lor pot fi "+ 1" sau chiar = "0". Dar în acest caz pot exista divizori de zero, există și alte proprietăți care sunt diferite de proprietățile complexului "i". De exemplu, în corpul de quaternioane trei unități imaginare anticomutative și, de asemenea, există infinit de multe soluții ale ecuației "$x\; ^\; 2\; =\; -1$“.

Cu privire la problema interpretării și a denumirii

Gauss, de asemenea, a susținut că în cazul în care valoarea 1, -1 și √-1, respectiv, nu sunt numite pozitive, negative și unitatea imaginară, și pozitiv, negativ și negativ, atunci oamenii nu au impresia că cu aceste numere este asociat unele sumbre mister. Prin reprezentarea geometrică a spus Gauss dă o adevărată metafizică a numerelor imaginare într-o nouă lumină. Acesta Gauss a inventat termenul de „numere complexe“ (spre deosebire de „numere imaginare“, Descartes) și folosit pentru a desemna simbolul √-1 i.

Maurice Cline. „Matematica. Pierderea certitudinii. " Capitolul VII. Dezvoltarea ilogică: dificultăți serioase la pragul secolului al XIX-lea.

denumiri

Denumirea convențională $eu$, dar în inginerie electrică și radio, unitatea imaginară este de obicei indicată $j$, să nu se confunde cu desemnarea curentului instantaneu. $i\; =\; i\; (t)$.

notițe

Articole similare

• Unitatea imaginară 1

• Traducere în engleză, exemple, transcriere, pronunție

• Mina, o măsură a greutății și a valutei - enciclopedia brockhaus și efron - ce înseamnă, descriere, fotografie,

Trimiteți-le prietenilor: