În geometria proiectivă, o configurație pe un plan constă dintr-un set finit de puncte și o configurație finită de linii. astfel încât fiecare punct să fie incident cu același număr de linii și fiecare linie să fie incidentă cu același număr de puncte.
Deși unele configurații specifice au fost studiate anterior (de exemplu, site-ul Thomas Kirkmanom [> https: ╱╱en.wikipedia.org╱wiki╱Thomas_Kirkman [en] în 1849), studiul formal al configurațiilor început site-ul lui Theodor Reye [> https: ╱╱en .wikipedia.org╱wiki╱Theodor_Reye [en] în 1876, în cea de a doua ediție a cărții sale der Lage geometrie (geometria situației), în contextul discuției teoremei lui Desargues. Ernst Steinitz a scris teza sa pe această temă în 1894 și configurații au fost polulyarizirovany în 1932 Hilbert și Cohn-Vossen în cartea Anschauliche Geometrie (Geometrie și), care a fost tradus în limba engleză și rusă.
Configurațiile pot fi studiate fie un anumit set de puncte și linii într-o anumită geometrie, cum ar fi euclidiană sau planul proiectiv (în acest caz se vorbește de implementare în această geometrie), sau ca o incidență abstractă geometrie. In acest ultim caz, configurația asociată intim cu hipergrafuri regulate și site-ul biregular [> https: ╱╱en.wikipedia.org╱wiki╱Morphism_of_algebraic_varieties [en] graf bipartit. dar cu constrângerea suplimentară - oricare două puncte ale structurilor de incidență pot fi asociate cu o singură linie maximă, și oricare două linii poate fi asociată cu un singur punct de maxim. Aceasta este, circumferința graficului bipartit corespunzător (graficul de configurare Levy) trebuie să fie egală cu cel puțin șase.
denumiri
Configurația în plan este marcată de (pγℓπ), unde p este numărul de puncte, λ este numărul de linii, γ este numărul de linii care trec prin fiecare punct și π este numărul de puncte pe fiecare linie. Pentru aceste numere, relație
deoarece acest produs este egal cu numărul de incidente punct-la-linie (steaguri).
Configurațiile cu același simbol nu trebuie să fie izomorf ca modele de incidență. De exemplu, există trei configurații diferite (9 3 9 3) - configurația Papp și două configurații mai puțin cunoscute.
În unele configurații, p = 1 și prin urmare, γ = π. Acestea sunt numite configurații simetrice sau echilibrate, iar de obicei în notație repetarea este omisă. De exemplu, (9 3 9 3) este redus la (9 3).
Configurația (10 3), care nu este izomorfă în ceea ce privește incidența configurației Desargues
Următoarele configurații proiective sunt cele mai cunoscute:
Dualitatea configurațiilor
O configurație proiectiv duală pentru (pγlπ) este o configurație (lppγ) în care rolurile "punctelor" și "liniilor" sunt schimbate. Prin urmare, configurațiile sunt perechi duale, cu excepția situației în care configurația duală este izomorfă celei originale. Aceste excepții se numesc configurații auto-duale, iar în aceste cazuri p = l.
Numărul de configurații (n3)
Numărul de configurații nonisomorfe de tip (n3), începând cu n = 7, este un element al secvenței
Aceste numere sunt calculate ca structură incidență abstractă, indiferent de punerea în aplicare a acestora. Așa cum a scris GROPP. nouă din zece configurații (10 3) și toate configurațiile (11 3) și (12 3) sunt capabile să realizeze un spațiu euclidian, dar pentru orice n ≥ 16 are cel puțin o configurație irealizabilă (n3). GROPP indică, de asemenea, un bug în picioare lung în secvența - într-un articol în 1895 a fost o încercare de a lista toate configurația (12 3) și 228 dintre ei au fost găsite, dar configurația 229-lea nu este deschis până în anul 1988.
Construcția de configurații simetrice
Există mai multe metode pentru construirea de configurații, de obicei începând cu configurații deja cunoscute. Unele dintre cele mai simple dintre aceste metode construiesc configurații simetrice (pγ).
Orice plan proiectat finit al ordinului n este o configurație ((n 2 + n + 1) n + 1). Fie Π un plan proiectiv de ordine n. Eliminăm punctul P de la Π și toate liniile Π care trec prin P (dar nu punctele situate pe aceste linii, cu excepția punctului P) și scoatem linia l. care nu trece prin P. și toate punctele situate pe această linie. Ca rezultat, obținem o configurație de tip ((n 2 - 1) n). Dacă alegem linia l în construcție. trecând prin P. obținem o configurație de tip ((n2) n). Deoarece se știe că există avioane proiective pentru toate ordinele n. care sunt puterile primelor, aceste construcții oferă o familie infinită de configurații simetrice.
Nu toate configurațiile sunt realizabile, de exemplu, configurația (43 7) nu există. Cu toate acestea, grupurile au dat o construcție care arată că pentru k ≥ 3 configurația (pk) există pentru toate p ≥ 2 lk + 1, unde lk este lungimea liniei optime Golfon de ordin k.
Dimensiuni înalte
Conceptul de configurație poate fi generalizat la dimensiuni mai mari, de exemplu pentru puncte și linii sau planuri în spațiu. În acest caz, restricția că nici două puncte nu se poate afla pe mai mult de o linie poate fi slăbită, deoarece două puncte pot aparține mai multor planuri.
În spațiul tridimensional,
- Configurația Mobius. constând din două tetraedre inscripționate reciproc
- Reye configurație. alcătuită din douăsprezece puncte și douăsprezece planuri cu șase puncte pe fiecare plan și șase planuri care trec prin fiecare punct
- Configurația gri. constând din 27 de puncte de 3 × 3 × 3 și 27 de linii ortogonale care trec prin ele
- Dublul șase Shlefli. Se compune din 30 de puncte și 12 linii drepte, două linii drepte pe punct și cinci puncte pe o linie dreaptă.
O altă generalizare se obține în spațiul tridimensional atunci când se ia în considerare incidența punctelor, liniilor și planelor, adică spațiile j pentru 0 ≤ j <3, где каждое j -пространство инцидентно N jkk -пространствам ( j ≠ k ). Если обозначить через N jj число j -пространств, такую конфигурацию можно представить в виде матрицы :
Abordarea poate fi generalizată pentru alte dimensiuni n. unde 0 ≤ j
notițe
literatură
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: