Nu, încă nu înțeleg complet sensul în care aritmetica este construită în teoria seturilor.
Nu este construită aritmetică, ci modelul acesteia.
Despre introducerea noilor denumiri au fost deja spuse: ele pot fi introduse la fel de multe ca și dorințe, determinându-le semnificația în termenii teoriei setului. Acest lucru dă așa-numita extensie conservatoare a limbii. Dacă se dorește, ele pot fi întotdeauna eliminate, înlocuindu-le pur și simplu cu definiții adecvate.
Schema standard pentru construirea unui model "standard" de aritmetică este după cum urmează.
Funcția set-teoretică a succesorului este definită. care atribuie fiecărui set setul.
Un set este numit inductiv. dacă îndeplinește două condiții: 1) și 2) dacă, atunci.
Axiomul infinitului afirmă că există cel puțin un set inductiv.
Se dovedește că există cel mai mic set de inductivitate (în sensul includerii), în plus, este unic.
Seria naturală este definită ca fiind cel mai mic set inductiv, iar elementele sale sunt numite numere naturale. Declarația anterioară înseamnă că simbolul este definit corect (are un înțeles complet definit).
Elementele sunt comparate cu numerele naturale ca: ,,,, ...
Sunt demonstrate diferite scheme de determinare prin inducție. De exemplu: dacă funcțiile u sunt date, atunci există o funcție unică care îndeplinește condițiile 1) și 2).
Apoi, putem determina suma și produsul.
Pentru suma pe care o scriem în schimb, luăm și, adică, definim prin relațiile 1) și 2).
În mod similar, produsul este definit de relațiile 1) și 2), adică aici și.
Mai mult, se demonstrează că toate axiomele aritmeticii Peano sunt satisfăcute.
Pur și simplu, în ZFC se poate demonstra teorema că există un set (și nu unul) pentru care toate axiomele Peano sunt satisfăcute.
Mai exact, puteți defini setul și structurile necesare pe acesta.
După ce am dovedit unicitatea celui mai mic set inductiv, cred că este deja posibil să introducem noțiunea de echilibrare.
Este posibil, dar conceptul de răspundere față de aritmetică nu are nimic de-a face cu ea.
Și pentru a determina finitatea setului, este necesar să-l exprimăm prin adăugare și să introducem condiția puterii egale pe segmentul seriei naturale.
În construcția descrisă, seturile finite sunt seturi care sunt echipotent la numerele naturale. Deoarece numerele naturale sunt segmente ale numărului natural. În plus, în acest model, relația de ordine este determinată direct în termeni set-teoretici.
Nu-mi amintesc că am întâlnit o astfel de metodă. operații aritmetice standard aritmetice sunt definite inductiv (în cea mai Peano aritmetică, acestea trebuie administrate inițial, deoarece existența lor nu poate fi dovedită, și în teoria mulțimilor, existența și adăugarea de multiplicare pentru a dovedi).
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: