5. Evaluarea stabilității ATS.
Stabilitatea este proprietatea sistemului de a reveni la starea inițială după retragerea sa din această stare și încetarea acțiunii perturbării.
Stabilitatea este o caracteristică foarte importantă a calității sistemelor și dispozitivelor utilizate într-o mare varietate de domenii tehnice.
Condițiile de stabilitate sunt formulate sub forma unor criterii de stabilitate diferite, fiecare aplicându-se în funcție de caracteristicile și datele inițiale disponibile.
Pentru a doua PAC - pentru a evalua stabilitatea rădăcinilor ecuației caracteristice, ordinul 3-lea - criteriul Vishnegradskogo, ordinul 4-lea al criteriului Hurwitz, a 5-order criteriu Mikhailova.
5.1 Rezistența SAR (a doua ordinea estimată prin rădăcinile ecuației caracteristice. Ecuația caracteristică ATS format prin echivalând cu operatorul SAR la zero propriu, adică D () = 0
Pentru un sistem din ordinul 2, eigenfuncția are forma:
Rezolvăm ecuația caracteristică
Gasim radacinile =, unde D = -4
Dacă rădăcinile reale sau părțile reale ale rădăcinilor complexe sunt negative, atunci sistemul este stabil.
Dacă cel puțin o rădăcină reală sau o parte reală a unei rădăcini complexe este egală cu 0, iar celelalte sunt negative; atunci acest sistem este situat pe limita de stabilitate.
5.2 Stabilitatea RA de ordinul III este estimată folosind criteriul Vyshnegradskii.
Ordinea de aplicare a lui Vișnegradski
Operatorul PAP adecvat D () = + + este egal cu zero:
Ultima ecuație conduce la forma:
ATS este stabil dacă A> 0, B> 0, A B> 1.
Principalul avantaj al acestui criteriu îl reprezintă capacitatea de a stabili tipul de proces tranzitoriu în acest scop în diagrama Vișnegradski (figura 9), punctul O este reprezentat cu coordonatele (A; B). Dacă punctul intră în regiunea 1 - atunci procesul tranzitoriu are un caracter oscilator. Dacă punctul intră în regiunea 2, atunci procesul de tranziție este aperiodic, iar în regiunea 3, atunci procesul tranzitoriu este monotonic.
Operatorul PAP adecvat D () = + +
Valoarea coeficienților PAC:
Calculam coeficienții operatorului PAC:
Calculam coeficienții A și B:
Obținem ecuația + + = 0;
Deoarece A = 11,11> 0, B = 2,92> 0 și A B = 16,22> 1, de aici SAR este stabil. Construim pe diagrama Vishnegradsky punctul O (5.55, 2.92). Se află în regiunea 1, de unde procesul tranzitoriu are un caracter oscilator.
5.3 Stabilitatea ATS de ordinul 4 este estimată prin criteriul Routh-Hurwitz.
Pentru a evalua stabilitatea, folosim propriul operator de PAC scris sub forma:
Rețineți că toți coeficienții D (p) trebuie să fie pozitivi.
Conform criteriului Hurwitz, pentru ca un sistem dinamic să fie stabil, este necesar și suficient ca principalul determinant al lui Hurwitz și al tuturor minorilor săi diagonali să fie pozitivi.
Determinantul Hurwitz este notat cu Δ și este construit din coeficienții operatorului ATS intrinsec prin algoritmul:
1) toți coeficienții operatorului caracteristic CAP al ecuației caracteristice sunt setați de la diagonala principală a determinantului Hurwitz de la stânga la dreapta;
2) din fiecare element al diagonalei, coloanele determinantului sunt adăugate în sus și în jos, astfel încât indicii să scadă din partea de sus în jos;
3) zerouri sunt puse în locul coeficienților cu indicii mai mici de zero sau mai mult de n.
Minorul diagonal de prim ordin este format din primul rând și prima coloană, al doilea după primele două rânduri și primele două coloane și așa mai departe.
Noi compunem principalul determinant Hurwitz și toți minorii lui diagonali pentru PAC din ordinul 4. În acest caz, operatorul intrinsec al PAC are forma:
Principalul determinant al lui Hurwica:
;
Un exemplu. Estimați stabilitatea unui sistem închis de ordinul patru prin criteriul Hurwitz.
Funcția de transfer a unui SAR deschis în coeficienți numerici are forma:
Să găsim funcția de transfer a unei SAR închise:
În continuare, definim operatorul corespunzător al PAC:
D (s) = A (s) + B (s) = 2s + 3s 4 3 + s 3 2 + 2s + 9s 2 + 6s + 1 = 2s + 5s 4 + 10s 3 2 + 6s + 1.
Deoarece gradul de polinom D (p) n = 4, matricea determinantului principal Hurwitz va avea dimensiunea 4x4.
Atunci determinantul principal Hurwitz pentru a4 = 1, a3 = 6, a2 = 10, a1 = 5, a0 = 2 ia forma:
Calculăm minorii diagonali:
Deoarece toți determinanții sunt pozitivi, SAR este stabil.
Nu este necesar să se ia în considerare toți minorii, deoarece dacă Δ3 este mai mare decât zero. atunci toți ceilalți minori și principalul determinant al lui Hurwitz vor fi pozitivi.
Într-adevăr, putem reprezenta principalul determinant Hurwitz prin minori.
de atunci, dacă este așa, și. Pe de altă parte, când, atunci și. ceea ce înseamnă că. Primul minor diagonal este de asemenea mai mare decât zero.
Extinim minorul în termenii coeficienților funcției proprii AAP D (p).
În cele din urmă, obținem condiția de stabilitate pentru PAC de ordinul 4 a formei:
Pentru ATS în cauză, avem.
5.4. Estimarea stabilității ATS de către criteriul Mikhailov
Conform acestui criteriu, identificăm polinomul caracteristic unui ATS închis:
.
Înlocuirea = i w, duce la un polinom complex, numit funcția Mikhailov:
în cazul în care;
Atunci când frecvența este variată, sfârșitul vectorului va descrie o anumită curbă în planul complex, care se numește Hodograph Mikhailov.
Atunci când frecvența este schimbată de la 0 la ∞, unghiul de rotație al vectorului în jurul originii coordonatelor este:
unde m este numărul rădăcinilor unui polinom cu o parte reală pozitivă.
=.
Aceasta din urmă este o condiție necesară pentru stabilitate, dar nu este suficientă. Pentru a obține o condiție necesară și suficientă pentru stabilitate, este necesar să excludem rădăcinile situate pe axa imaginară.
Pentru sistemul de control automat este stabil, este necesar și suficient ca complot polar Mikhailova atunci când se trece de la 0 la ∞ transformat, fără a trece prin zero în jurul originii antiorar printr-un unghi, unde - ordinea ecuația caracteristică.
Pentru sistemele stabile, timpul de călătorie al lui Mikhailov începe la jumătatea axei reale; =; În plus, cu o frecvență crescătoare, faza ar trebui să crească monotonic, adică vectorul ar trebui să se rotească numai în sens contrar acelor de ceasornic, deoarece fazele vectorului elementar (), care sunt termenii fazei vectorului
Pictura lui Mikhailov pentru sistemele stabile are o formă spirală netedă și merge spre infinit în acel cadran al cărui număr este egal cu gradul ecuației caracteristice (figura 14)
În acest sens, criteriul de stabilitate poate fi formulat după cum urmează.
Din polinomul din numitorul funcției de transfer ACP (polinomul caracteristic), se formează funcția Mikhailov. Pentru sistemul de control automat este stabil, este necesar și suficient ca parcela polar Mikhailova în timp ce modificarea frecvenței de la 0 la ∞, la început pe axa reală pozitivă, doar rundele secvențial invers acelor de ceasornic n cadrane ale planului de coordonate, unde n- a comanda ecuația caracteristică.
Figura 14 Hodograph Mikhailova
Un semn al instabilității sistemului este încălcarea numărului și secvenței de trecere a cadranților.
Exemple de ceasuri ale lui Mikhailov pentru sisteme instabile sunt prezentate în figura 15.
Pentru sistemele neutre, graficul timpului de călătorie al lui Mihailov este prezentat în figura 16. În primele două cazuri, deformările mici duc la stabilitate, în timp ce în ultimul caz sistemul este instabil.
V
Figura 17 - Hodograful lui Mihailov
Atunci când frecvența este variată, sfârșitul vectorului D (iw) descrie o anumită curbă (Figura 17) și nu merge în sens contrar acelor de ceasornic în 5 cadrane, ceea ce înseamnă că sistemul este instabil.
Lecția # 5 Evaluarea durabilității. Criterii de stabilitate algebrice
Estimarea stabilității sar
3. Obținerea funcțiilor de transfer. Găsiți funcțiile de transfer ale tuturor elementelor din capac
1. Tipuri de sustenabilitate financiară. Calculul indicatorului principal
65. Măsuri de îmbunătățire a stabilității comunicării în zbor
MA Reznikov Metodă variațională în calcularea stabilității săpăturilor și structurilor miniere Rezumat
Studenți și organizații non-profit: la sustenabilitate financiară prin profesionalism Parteneriatul non-profit "Crystal Orange"
Diploma proiectează șeful sistemului de reglare automată a parametrilor tehnologici (sar)
Evaluarea gradului de pregătire a elevilor de clasă întâi pentru școlarizare
Raportul public al regizorului "Moșul sus" p. Dubka, regiunea Saratov "
Evaluarea independentă a costului transportului. Yaroslavl. Evaluarea independentă a vehiculelor (pe 1 unitate)
Articole similare
-
Traducerea durabilității în limba engleză, exemple, transcriere, pronunție
-
Cumpărarea și evaluarea chihlimbarului la Moscova este costisitoare
Trimiteți-le prietenilor: