Ecuații diferențiale

pe traiectoria originii nu crește, adică toate traiectoriile determinate de soluții particulare apropiate de momentul inițial rămân aproape de origine și de creștere. Aceasta, prin definiție, înseamnă că soluția trivială este stabilă.







Dacă distanța crește odată cu creșterea, soluția zero este instabilă.

Funcția din aceste argumente poate fi înlocuită de o funcție mai convenabilă în calcule.

EXEMPLU. Investigați pentru stabilitate soluția zero a unui sistem de ecuații diferențiale.

Lasă-l să fie. Să găsim derivatul acestei funcții de-a lungul traiectoriilor sistemului:

Astfel, - o funcție non-creștere, adică punctul de pe un drum arbitrar nu este îndepărtat de origine, astfel încât soluția trivială a sistemului este stabil, și, prin urmare, rezistent la toate soluțiile de acest sistem.

Observăm că din inegalitate rezultă o funcție monotonă. Dar punctul de odihnă poate fi de asemenea stabil dacă traiectoriile corespunzătoare soluțiilor arbitrare (focalizare centrală sau stabilă) sunt nonmonotonice (Figurile 13, 14). Prin urmare, ca funcții prin care stabilitatea este investigată, Lyapunov a considerat funcții ale căror proprietăți sunt similare cu proprietățile distanței, însă ele înseși nu sunt distanțe.

DEFINIȚIE Funcția derivată este denumită derivatul total în virtutea sistemului (12.1).

Luați în considerare un sistem autonom







Presupunem că pentru un astfel de sistem funcția este independentă de timp, iar derivatul său, având în vedere sistemul (12.12), are forma :.

Determinare. Se spune că o funcție este pozitivă (negativă) definită în unele vecinătăți ale originii, dacă este oriunde în acest cartier și numai. Funcțiile definite definite pozitive sau negative se numesc funcții semn definite.

Reamintim că un vecin de origine este setul de puncte definite de inegalitate. Daca, atunci este un cerc de raza cu centrul la origine, daca este o sfera de raza.

EXEMPLE. a) pretutindeni, cu excepția originii, a. Prin urmare, o funcție pozitivă definită.

b) și. Prin urmare, prin definiție, o funcție pozitiv-definită.

Dar, prin urmare, o funcție pozitivă definită nu este: este zero nu numai la origine.

Determinare. O funcție este considerată a fi nonnegativă (non-pozitivă) în unele cartiere de origine dacă este peste tot în acest cartier, și nu numai pentru. Funcțiile non-negative sau ne-pozitive sunt numite funcții semn-constante.

EXEMPLU. Funcția este prin definiție non-negativă.

Prin definiție, funcția nu este nici semnul definit, nici semnul constant.

Determinare. Funcția se numește funcția Lyapunov a sistemului autonom (12.12), dacă

1) este diferențiat în unele cartiere ale originii;

2) este pozitiv-definit (negativ definit) în această cartier;

3) derivatul său, având în vedere sistemul (12.12), peste tot în acest cartier.

Considerăm sistemul (12.12) și presupunem că are o soluție trivială, adică.

TEOREM (Lyapunov privind stabilitatea). Să presupunem că există o funcție diferențiabilă, fix semn într-un cartier al originii, a cărui derivat în virtutea (12.12), în vecinătatea semn constant și cu semnul opus sau identic zero. Apoi soluția trivială a sistemului (12.12) este stabilă.

Dovada. Să presupunem că o funcție este diferențiabilă și definitivă pozitivă în unele vecinătăți ale originii și derivată în virtutea sistemului (12.12) sau. Am stabilit







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: