Povestea corpurilor de rotație voi începe cu cele mai simple dintre ele - cilindrul.
Un cilindru este un corp care este format prin rotirea unui dreptunghi în jurul unei linii drepte care conține partea sa.
Cercurile formate prin rotirea laturilor unui dreptunghi perpendicular pe axa de rotație sunt numite baza cilindrului (superioară și inferioară). Deoarece părțile opuse ale dreptunghiului sunt egale, atunci bazele cilindrului sunt cercuri egale.
Suprafața formată prin rotirea laturii unui dreptunghi paralel cu axa de rotație se numește suprafața laterală a cilindrului.
Înălțimea cilindrului este perpendiculară trasă din orice punct al unei baze cilindrice în planul celuilalt. Lungimea acestei perpendiculare se numește înălțimea cilindrului. Un segment care unește punctele cercurilor bazelor și perpendicular pe planurile lor se numește generatorul cilindrului de rotație. Segmentul axei de rotație închis în interiorul cilindrului se numește axa cilindrului.
Generatoarele cilindrului de rotație sunt perpendiculare pe planurile bazelor sale și există un cerc în baza cilindrului, deci un astfel de cilindru este numit un cilindru drept circular.
Un cilindru ale cărui generatoare nu sunt perpendiculare pe planurile bazelor sale se numește un cilindru înclinat.
Și acum mă voi concentra asupra formulelor de bază ale cilindrului:
1) Suprafața suprafeței laterale a cilindrului este egală cu produsul lungimii circumferinței bazei până la înălțime. Sboc = 2 RH
2) Suprafața totală a cilindrului este egală cu suma zonelor suprafeței laterale și a celor două baze.
S complet = Sob + 2Sosn = 2 RH + 2R2 = 2R (R + H)
3) Volumul unui cilindru circular drept este egal cu produsul zonei de bază la înălțimea sa. V = R2H
Acum trecem la următorul corp de rotație - conul.
Un con circular drept este un corp care se formează prin rotația unui triunghi drept în jurul unei linii drepte care conține cateterul.
Segmentul axei de rotație închis în interiorul conului se numește axa conului.
Cercul format de rotația celui de-al doilea picior se numește baza conului. Lungimea acestui picior se numește raza bazei conului sau a razei conului. Vârful unghiului ascuțit al triunghiului rotativ, așezat pe axa de rotație, se numește vârful conului.
Înălțimea conului este segmentul tras de la vârful conului perpendicular pe baza acestuia. Lungimea acestei perpendiculare este numită și înălțimea conului. Înălțimea conului are ca bază baza cercului - baza conului - și coincide cu axa conului.
Segmentele care leagă vârful conului cu punctele din cercul bazei sale sunt numite generatoare ale conului. Toate generatoarele de conuri sunt egale una cu alta.
Formulele de bază ale conului:
1) Volumul conului este egal cu o treime din produsul zonei de bază cu înălțimea.
2) Suprafața laterală a unui con circular este egală cu produsul de jumătate din lungimea circumferinței bazei de pe generator. Sboc = RL
3) Suprafața totală a conului este egală cu suma zonelor suprafeței laterale și a bazei acesteia. S pl = Sob + Sosn = RL + R2 = aR (L + R)
Un con trunchiat face parte din con, limitat de baza și secțiunea paralelă cu planul bazei.
Baza acestui con și cercul obținut în secțiunea acestui con cu un plan sunt denumite, respectiv, bazele inferioare și superioare ale conului trunchiat. Înălțimea unui con trunchiat este un perpendicular tras din orice punct al unei baze în planul celuilalt. Lungimea acestei perpendiculare este numită și înălțimea conului trunchiat.
Segmentele de formare a conului, închise între bazele conului trunchiat, sunt numite generatoare ale conului trunchiat. Deoarece toți generatorii unui con dat sunt egali și egali cu toți generatorii unui con con tăiat, toți generatorii conului trunchi sunt egali.
1) Volumul suprafeței unui con trunchiat se calculează cu formula:
Volumul este egal cu o treime din produsul lui pi la înălțimea conului trunchiat și suma pătratelor razei bazelor și a produsului lor.
2) Zona suprafeței laterale a unui con trunchiat este egală cu produsul jumătății sumelor lungimilor cercurilor de bază de pe generator.
3) Suprafața totală a conului trunchi este egală cu suma suprafețelor laterale și a bazei conului trunchiat.
Figura obținută ca urmare a rotirii semicercului în jurul diametrului se numește minge. Suprafața formată de acest semicerc este numită sferă.
O minge este setul tuturor punctelor de spațiu dintr-un anumit punct la o distanță care nu este mai mare decât valoarea dată R.
O sferă este mulțimea tuturor punctelor de spațiu dintr-un anumit punct la o distanță egală cu cea dată R.
Raza unei bile este definită ca orice segment care unește centrul sferei până la punctul de suprafață a bilei. Un segment care unește două puncte ale suprafeței sferice și trece prin centrul sferei este numit diametrul sferei. Capetele oricărui diametru al sferei sunt numite puncte diametral opuse ale sferei. Un segment care unește două puncte arbitrare ale suprafeței bilei și care nu este diametrul unei sfere este denumit coarda unei sfere (sferă).
Una dintre cele mai mari realizări ale lui Archimedes a considerat dovada că volumul mingii este de unu și jumătate mai mic decât volumul cilindrului descris mai sus:
volumul cilindrului descris este SH = R2 • 2R = 2i 2. mirare minge înscris într-un cilindru, a fost sculptat pe piatra funerară Arhimede din Siracuza. Aceasta este dovada ca derivarea a volumului piramidei cu „scara diavolului“, precum și calcularea volumelor multor altor organisme, pe corp prezentând o „stivă“ de straturi subțiri paralele. Volumul fiecărui strat este aproximativ egală cu produsul dintre suprafața de bază de grosime, astfel încât, în fapt, este necesar să se calculeze suma ariilor secțiunilor paralele, mai precis, valorile limită ale produsului acestei sume la grosimea stratului atunci când acesta tinde la zero. Matematicienii din trecut au arătat invenții și inteligență considerabile în astfel de calcule.
CUM ARHIMEZELE EXPLOATEAZA INSTANTUL
Luați în considerare un dreptunghi cu dimensiunea 2R x 4R, un cerc care atinge laturile sale lungi în punctele lor medii A și B și un triunghi înscris în el (figura 1). Când se rotesc în jurul axei AB, aceste figuri formează un cilindru, o bilă și un con. Le intersectăm cu un plan care paralel cu bazele cilindrului la o distanță x față de A. Să denotă zona secțiunilor - le vom numi cele corespunzătoare - de către S ^, S ^, și S ^. atunci
x • Sj = 2R • (Sm + Sk). (*)
Într-adevăr, Sj = 4R2; Sv = CE2 unde CE2 = EO2-OC2 = R2- (x-R) 2 = 2 Rx-x2; Sk = CD2 = x2, iar egalitatea (*) este verificată printr-o substituire directă. Dacă în partea stângă în loc de X a fost un factor constant, adică. E. Relația dintre cele trei secțiuni rămân aceleași pentru orice plan, același lucru ar fi valabil egalitate pentru volumele VIII și TV- VR. Arhimede a găsit o cale extrem de ingenioasă - a combinat egalitățile (*) pentru diferite x într-un raport pentru volume. El a privit ecuația (*) ca o "regulă a pârghiei": x și 2R a preluat umerii și planul secțiunilor - pentru mase. Ideea lui este ilustrată în Fig. 2. Pe un braț al greutății pârghiei, ca pe axă, cilindrul este așezat astfel încât punctul A să coincidă cu punctul de susținere; Pe celălalt braț la o distanță de 2R față de punctul de sprijin, un con și o minge sunt suspendate. Secțiunile corespunzătoare ale cilindrului, conului și bilanțului se balanșează reciproc și, prin urmare, echilibrul ca întreg este în echilibru. Echilibrul nu este încălcat dacă întreaga masă a cilindrului este concentrată în centrul său, situată la o distanță R de suport. Înregistrăm regula pârghiei pentru întregul sistem, ținând seama de faptul că masele sunt proporționale cu volumele:
din care este ușor să se deducă formula binecunoscută pentru volumul unei sfere: Vw = 4/3 R 2
Arhimede a găsit și un alt mod de calcul al volumului unei sfere - în esență, foarte aproape de integrare.
1) Volumul mingii este egal cu volumul piramidei, a cărui bază are aceeași suprafață ca suprafața mingii și înălțimea este raza mingii: Vm = 4/3 R 2
2) Zona sferei (sau suprafața sferei) este egală cu aria cvadruple a cercului mare: Ssферы = 4 R 2
Și acum formează ecuația unei sfere cu centrul A (a; b; c) și a razei R în sistemul de coordonate dreptunghiulare carteziane Oxyz.
Fie M (x; y; z) orice punct al acestei sfere. Atunci MA = R sau MA 2 = R 2. Avand in vedere ca MA 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2 + (z-c) 2. obtinem ecuatia ceruta a sferei
Thor este o figură de rotație.
Un torus este format prin rotirea unui cerc în jurul unei linii care nu o intersectează, situată în planul cercului.
Dacă "umplem" torusul, obținem un corp de revoluție, numit un torus solid.
1) Volumul delimitat de un tor este egal cu produsul lungimii circumferinței prin aria secțiunii transversale: V = 2 R · r2 = 2 2 Rr 2;
2) Suprafața este de două ori produsul circumferinței prin lungimea secțiunii transversale: S sus = 4 2 Rr
Calculul integral creat de Newton și Leibniz a transformat calculul volumelor într-o operație standard. Este scrisă după cum urmează:
unde V este volumul corpului situat între planurile z = a și z = b și S (z) este aria secțiunii sale prin planul care trece prin punctul z al axei Oz perpendicular pe această axă.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: