Particularitățile soluțiilor de ecuații în numere întregi, rețeaua socială a educatorilor

Maria Selkova, studentă la clasa a 10-a din Școala IAOU nr. 11 din Chaikovsky

Soluția de ecuații algebrice în întregi cu coeficienți întregi cu mai mult de una necunoscută este una dintre cele mai dificile și vechi probleme matematice. Aceste sarcini au fost abordate cu cei mai remarcabili matematicieni din antichitate. Rezolvarea ecuatiilor in intregi este o sarcina importanta pentru matematica moderna.

Chiar și în școala primară, în clasa matematică, elevii au fost adesea rugați să afle la ce valori admisibile literele ambele părți ale egalității iau valori numerice egale. În ceea ce privește egalitatea în acest caz, am arătat o ecuație pentru cantitatea indicată necunoscută. În clasa a opta am luat cunoștință de soluția de ecuații patratice cu o variabilă. Dar, pregătindu-se pentru Jocurile Olimpice, luând în considerare materialele examenului de stat unificat, elevii se întâlnesc cu sarcini în care sunt propuse ecuații cu două variabile.

Prin urmare, acest subiect este relevant pentru elevii de liceu care au trecut examenul de matematică.

Acest subiect este, de asemenea, relevant pentru cei care intră în universitățile de fizică și matematică, pentru cei care sunt mulțumiți de matematică și pentru cei care se pregătesc să participe la olimpiadele.

1. Introducere ................................................................ pagina 2
2. Particularitățile soluției de ecuații în întregi .......... pagina 5

1. Ecuații cu una necunoscută ......................... pagina 5
2. Găsirea rădăcinilor întregi a unei ecuații cu coeficienți întregi .............................................. pagina 8
3. Rezolvarea ecuațiilor în întregi cu două sau mai multe necunoscute ................................................... pagina 11

1. Concluzie ............................................................. pagina 15
2. Referințe ................................................... pagina 16
3. Aplicație.

Soluție de ecuații algebrice în numere întregi cu coeficienți întregi, cu mai mult de un necunoscut este una dintre cele mai dificile și cele mai vechi probleme matematice. Aceste sarcini sunt angajate în multe matematicieni cele mai remarcabile din antichitate, de exemplu, matematicianul grec Pitagora (Vivek î.Hr.), matematicianul alexandrin Diophant (III-lea î.Hr.), Fermat (XVII sec.), L. Euler (secolul al XVIII-lea ) Zh.L.Lagranzh (secolul XVIII), P.Dirihle (sec XIX), K.Gauss (sec XIX), P.Chebyshev (sec. XIX) și multe altele.

Rezolvarea ecuatiilor in intregi este o sarcina importanta pentru matematica moderna. Interesul teoretic al ecuațiilor în numere întregi este suficient de mare, deoarece aceste ecuații sunt strâns legate de multe probleme din teoria numerelor.

Chiar și în școala elementară, în lecțiile de matematică, ne-am confruntat deseori cu sarcina de a afla în ce valori admisibile literele ambele părți ale egalității iau valori numerice egale. În ceea ce privește egalitatea în acest caz, am arătat o ecuație pentru cantitatea indicată necunoscută. În clasa a opta am luat cunoștință de soluția de ecuații patratice cu o variabilă. Dar, pregătindu-se pentru Jocurile Olimpice, luând în considerare materialele examenului de stat unificat, ne întâlnim cu sarcini în care sunt propuse ecuații cu două variabile.

Prin urmare, cred că tema mea este relevantă pentru elevii de liceu care au trecut examenul de matematică.

Acest subiect este, de asemenea, relevant pentru cei care intră în universitățile de fizică și matematică, pentru cei care sunt mulțumiți de matematică și pentru cei care se pregătesc să participe la olimpiadele.

A existat o dorință de a afla dacă astfel de ecuații sunt solvabile și ce metode sunt folosite pentru a le rezolva, fie că au toate algoritmul de soluție și unde sunt aplicate.

Având în vedere diverse surse, remarcăm că problema rezolvării ecuațiilor în întregi este rezolvată până la capăt numai pentru ecuațiile cu una necunoscută, pentru ecuațiile de gradul I și pentru ecuațiile de gradul doi cu două necunoscute. Pentru ecuații mai mari decât a doua putere cu două sau mai multe necunoscute, chiar problema existenței soluțiilor întregi este destul de dificilă.

Problema este că nu toată lumea știe particularitățile soluțiilor anumitor ecuații.

Există, de asemenea, multe abordări pentru rezolvarea ecuațiilor în întregi, dar nu toată lumea poate sau înțelege cum să le folosească. Rezolvarea ecuațiilor cu mai mult de un necunoscut este cea mai dificilă problemă.

Soluția de ecuații în numere întregi din literatură este considerată numai pentru ecuațiile de gradul doi cu două necunoscute. Pentru a rezolva ecuații de gradul doi mai mari cu două sau mai multe necunoscute dificile sunt problemele de a găsi toate soluțiile în întregi și de a stabili existența unui set finit sau infinit de astfel de soluții.

Deseori există sarcini în care este necesară rezolvarea problemelor fie în număr întreg, fie numai în cele naturale.

În lucrarea mea, am revizuit sarcinile din materialele Olimpiadei și misiunile C6 din USE.

Luați în considerare singularitățile rezolvării ecuațiilor în întregi.

1. Învață să rezolvi ecuații în numere întregi în mai multe moduri.
2. Aplicați diferite moduri de a rezolva ecuațiile în întregi în practică.
3. Pentru a familiariza colegii de clasă cu modul în care aceste ecuații sunt rezolvate.

Ecuatii in intregi

Metode de rezolvare a ecuatiilor in intregi.

Considerarea unui număr suficient de mare de ecuații în întregi va conduce la concluzia că există un algoritm pentru rezolvarea acestor ecuații sau absența unui astfel de algoritm.

2. Caracteristicile ecuațiilor de rezolvare în întregi

O soluție a unei ecuații cu una necunoscută este valoarea necunoscutului, sub care ecuația devine o adevărată egalitate numerică.

În consecință, soluția unei ecuații cu mai multe necunoscute este un set de valori de necunoscute, atunci când este substituită într-o ecuație, ea se transformă într-o egalitate numerică reală. Adesea, soluțiile unei ecuații cu un necunoscut sunt numite rădăcinile ecuației.

1) Ecuații cu una necunoscută.

Luați în considerare o ecuație de gradul întâi cu una necunoscută

va fi un număr întreg numai dacă este complet împărțit în. Astfel, ecuația (1) nu este întotdeauna rezolvată în întregi; de exemplu, din două ecuații, iar prima are o soluție completă. iar al doilea în întregi este insolubil.

Ecuațiile de gradul doi cu una necunoscută.

Cu aceeași circumstanță, ne întâlnim, de asemenea, în cazul unor ecuații a căror grad este mai mare decât prima: ecuația patratică are soluții întregi. ; ecuația în întregi este indiscutabilă, din moment ce rădăcinile ei. irațional.

Să analizăm problemele în care este dată condiția specifică despre valorile integrale ale rădăcinilor.

Problema 1. Un trinomial quadratic are rădăcini integrale, modulo mare 2. Dovediți că numărul este un compozit.

Prin teorema lui Viet:

Problema 2. Filtrează numere întregi a și b, că rădăcinile ecuației x 2 + (2a + 9) x + 3b + 5 = 0 sunt numere întregi diferite, iar coeficienții și 2a + 3b + 9 5 - PRIMES.

Noi folosim proprietățile rădăcinilor ecuației pătratice: x 1 x 2 = 3b + 5. Prin ipoteză, 3b + 5 este un număr prime, iar x1 și x2 sunt numere întregi. Din proprietăți grunduiește descoperim că există doar 2 cazuri: x 1 = 1, x 2 = 3b + 5 LOR 1 = -1 și x 2 = - (3b + 5). Valorile lui x 1 și x 2 pot fi schimbate. ordinea în acest caz nu contează. Din nou, folosim proprietățile rădăcinilor ecuației pătratice: x 1 + x 2 = 2a + 9. Dar, din moment ce unul dintre modulul 1 egal cu (1 sau -1), printre rădăcini și 3b egal al doilea modulo + 5, rezultă că 2a + 9 diferă de la 3b + 5 la 1. Prin urmare, una dintre acestea chiar, iar al doilea - ciudat. Prin ipoteză, ambele sunt simple. Știm doar un singur număr prime - 2. Cel de-al doilea diferă de acesta de 1, adică este egal cu 3 (1 nu este un număr prime). Se obtin ca coeficientii ecuatiei sunt 2 si 3. Obtinem 2 ecuatii:

Primul nu are nicio soluție. Și rădăcinile celui de-al doilea: -1 și -2. Ambele sunt numere întregi. Prin urmare, ecuația are forma x 2 + 3x + 2 = 0

2) Găsirea rădăcinilor întregi ale unei ecuații cu coeficienți întregi.

Determinarea rădăcinilor întregi a ecuațiilor algebrice cu coeficienți întregi se bazează pe următoarea teoremă.

Fie o ecuație cu coeficienți întregi. În cazul în care numărul. unde p și q sunt numere întregi și fracțiunea este neîncadrată, este rădăcina ecuației, atunci p este un divizor al termenului liber. și q este un divizor al coeficientului termenului de conducere.

Nu vrem să dovedim această teoremă. Problema noastră este să arătăm cum se aplică această teoremă pentru rezolvarea ecuațiilor în întregi.

1) Dacă ecuația nu este termen constant, adică o 0 = 0, apoi scoase din paranteze x cât mai mult posibil și să obțină ecuația mai puțin constantă pe termen nu este egal cu 0 și x = 0 root.

2) Prima rădăcină se găsește prin metoda de selecție. Toți divizorii termenului liber sunt căutați până când se găsește prima rădăcină x = x 1. După aceasta, partea stângă a ecuației este împărțită de o coloană cu x - x 1 și se obține o ecuație cu un grad mai mic. Această acțiune este repetată până când se obține o ecuație cuadratoare, care este rezolvată de formula.

Un exemplu. x 3 + 6 x 2 + 5 x - 12 = 0

Rădăcinile pot fi divizorii termenului liber, care este 12. Aceste numere sunt: ​​1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12. Să le verificăm. Primul număr x = 1 este rădăcina ecuației.

Să divizăm partea stângă a ecuației cu x-1: (x 3 + 6 x 2 + 5 x-12): (x - 1) = x 2 + 7 x + 12.

Am obtinut o ecuatie patratica, rezolvand care gasim doua mai multe radacini: -3 si -4. După cum se poate observa, ambii sunt divizori 12.

Cunoscând o rădăcină a unui polinom, îl putem extinde în multiplicatori, adică dacă este o rădăcină a unui polinom.

Pe un exemplu concret, să luăm în considerare o altă abordare a extinderii unui polinom în multiplicatori atunci când rezolvăm ecuațiile în numere întregi

Soluție: deoarece coeficientul de conducere este 1, q = 1. Membru gratuit are separatoare 1, 2, 4, 8, 16. Astfel, în cazul în care această ecuație are o rădăcină, atunci aceasta va fi rădăcina numerelor Substituind le pe partea stângă, obținem De aceea, partea din stânga este descompusă în factori, dintre care unul (y - 2).

Puteți face această descompunere utilizând o metodă pe care o numim metoda de grupare. Esența lui este reprezentarea unui polinom sub forma unei perechi de termeni în așa fel încât să poată fi identificat un factor (y - 2) din fiecare pereche. De la primul termen este. apoi ca al doilea termen ar trebui luate. ducând la formarea de abur. în care putem lua multiplicatorul y - 2. Astfel, din al doilea termen am "ocupat". Rămâne. Adăugați 6y, obținem pereche + 6y = -3y (y - 2), etc. Ca rezultat, vom avea:

Astfel, pentru a găsi rădăcinile rămase, trebuie să rezolvăm ecuația - 3y - 8 = 0. Rădăcinile sale :. . dar nu întregi, deci rădăcina ecuației este 2.

Zadacha2. Găsiți rădăcinile întregi ale ecuației

2x 4 + 7x 3 - 12x 2 - 38x + 21 = 0.

Soluția. Divideri ai termenului liber al ecuației: ± 1. Divizori pozitivi ai coeficientului principal: 1. În consecință, toate rădăcinile întregi ale ecuației se numără printre numere. Înlocuind x = ± 1, concluzionăm că doar x = -1 este rădăcina acestei ecuații.

1. Rezolvarea ecuatiilor in intregi

cu două sau mai multe necunoscute.

Deoarece problema rezolvării ecuațiilor cu două sau mai multe necunoscute și un grad mai mare de două nu este complet rezolvată, voi da doar câteva exemple de rezolvare a unor astfel de ecuații.

Problema 1. Rezolvați în ecuația numerelor naturale

Pentru n = 25, această ecuație
. va presupune că este imposibil.

din ecuația (1) exprimăm m

Din care se poate observa că m este un număr natural pentru n> 25 și la. unde este un număr întreg.

625 este împărțit în puteri de 5.

Să luăm în considerare, pentru ce valori de n, m vor lua valori întregi.

. în consecință, cu cât este mai mare valoarea expresiei. mai mare n și m mai mic. Prin urmare, este inutil să considerăm ecuațiile în continuare. condiția este satisfăcută numai în primele două cazuri.

Problema 2. Rezolvați în întregi ecuația

. sunt pereche reciproc simple, iar produsul lor este egal cu întregul pătrat, prin urmare. altfel nu va fi un pătrat!

Problema 3. Rezolvați în întregi ecuația

Soluția. Împărțind restul de -6 cu 4, obținem -6 = 4 (-2) + 2. Reprezentăm ecuația inițială sub forma

4 (x - 2 y) + 2 y + 11 z = 7.

După înlocuirea x = x - 2 y, această ecuație poate fi scrisă după cum urmează

4 x + 2 y + 11 z = 7.

Având în vedere că 11 = 2 · 5 + 1, transformăm ultima ecuație:

4 x + 2 (y + 5 z) + z = 7.

Pune y = y + 5 z. avem

Această ecuație are următoarea soluție: x. y sunt numere întregi arbitrare, z = 7 - 4 x - 2 y. Prin urmare, y = y - 5 z = 20 x + 11 y - 35, x = x + 2 y = 41 x + 22 y - 70.

Astfel, soluția ecuației originale are forma

x = 41 x + 22 y - 70

Articole similare

• Materialele mele, rețeaua socială de educatori

• Proiect de cercetare fulger misterios, rețea socială de educatori

• Cum chel a reușit să cucerească demonii, rețeaua socială a educatorilor

Trimiteți-le prietenilor: