) "/> este un spațiu de probabilitate cu variabile aleatorii definite pe el.
Se spune că _ ^ "/> converge în probabilitate, dacă 0" alt = "\ forall \ varepsilon> 0" />:
\ varepsilon) = 0 "alt =" \ lim \ limits_ \ mathbb
(| X_n - X |> \ varepsilon) = 0 "/>.
Explicație și exemplu
Această proprietate înseamnă că, dacă luăm o cantitate cu un număr suficient de mare, atunci probabilitatea unei deviații semnificative de la valoarea limită va fi mică. Cu toate acestea, este important să se înțeleagă că, dacă în același timp (de exemplu, pentru același rezultat elementar) Luați în considerare secvența „/>, aceasta nu este obligată să conveargă la valoarea, în general, indiferent de ce. Aceasta este în măsura în care se dorește poate fi valorile extreme puternice, ei pur și simplu „nu foarte mult“, astfel încât probabilitatea ca o astfel de deviere puternică se încadrează într-un experiment dat la exact numărul specificat este mic.
De exemplu, luați în considerare un spațiu de probabilitate, probabilitatea este o măsură Lebesgue (adică probabilitatea ca orice interval să fie egal cu lungimea sa). Variabilele aleatoare sunt definite după cum urmează: pentru primele două se împarte în două intervale) "/> u, 1]" /> și se definește 1 în primul interval și 0 în cel de-al doilea, iar dimpotrivă 0 în primul interval și 1 în al doilea. Apoi, luăm următoarele patru cantități, împărțim pe patru intervale disjuncte de lungime și atribuim fiecare valoare egală cu 1 pe intervalul său și 0 pentru intervalele rămase. Apoi considerăm următoarele 8 valori, împărțim la 8 intervale etc.
Ca urmare, pentru fiecare rezultat elementar, secvența valorilor are forma:
secvență constă dintr-o serie de lungimi, iar în fiecare serie la un loc (în funcție de rezultatul elementar selectat) în valoare de o valoare de 1, iar în alte locuri - zero.
Variabilele aleatoare din serie cu numărul (de lungime) ia valoarea 1 cu probabilitatea "/> și valoarea 0 cu probabilitatea" />. Din definiția de bază rezultă că această secvență converge probabilitatea la o variabilă aleatoare. În același timp, pentru orice valoare, secvența de valori nu converge la, deoarece în orice secvență de valori arbitrar de departe există în mod necesar valori care sunt separate de 0. Cu toate acestea, deoarece lungimile seriilor cresc pe termen nelimitat, probabilitatea de a "obține" la această valoare devine arbitrar de mică atunci când se selectează un element al unei secvențe cu un număr suficient de mare.
Rețineți că, în loc de o valoare de 1, puteți alege orice alt (inclusiv arbitrar în creștere rapidă, cu o creștere), și, astfel, face o secvență de așteptări matematice X_n „/> arbitrar (inclusiv nelimitat). Acest exemplu arată că convergența în probabilitate nu implică convergența așteptărilor matematice (precum și orice alte momente).
O formă mai puternică de convergență care asigură convergența secvențelor de valori la limită este convergența aproape peste tot.
literatură
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: