Solutia problemelor teoriei probabilităților pe aruncarea unei monede găsite în CSE-11 din clasa (sarcina B6), în JEG-9 formă (referință 19).
Prin urmare, acest subiect va fi util pentru citirea și dezasamblarea elevilor de clasa a noua și a elevilor de clasa a 10-a.
Aici, de exemplu, sarcina opțiunii 1 - B6 din colecția de teste, ed. Yashchenko I.V.
Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este abandonată de 4 ori. Găsiți probabilitatea că vulturul va cădea exact de 2 ori.
(pentru început, încercați să o rezolvați singur, soluția va fi luată în considerare la sfârșitul textului)
Sarcinile "aruncării monedelor" - așa de scurt vom numi acest subiect, pot fi simple și complexe. Multe probleme B6 pot fi rezolvate într-o singură acțiune de formula probabilității.
unde P este probabilitatea necunoscută
n-numărul total de teste
m este numărul de rezultate favorabile.
Aruncarea monedelor.
Acest test are doar două rezultate - moneda cade "vultur" sau "foioase". Ele pot fi considerate evenimente elementare. Este dificil să se compună evenimente mai complexe, dar se poate include unul
1. un eveniment imposibil - când aruncați, nici "vulturul", nici "cozile" nu au căzut (să presupunem că moneda era pe margine)
2. și un eveniment care se va întâmpla cu siguranță - "vulturul" sau "cozile" vor cădea - un astfel de eveniment se numește autentic.
În practică, astfel de probleme pot fi rezolvate în două moduri.
- Lumină, unde se testează repetat un pic - prin forță brută - adică, se scriu preliminar toate rezultatele posibile și se aleg pe cele favorabile.
- Mai complexe - în cazul în care testele repetate sunt multe - în conformitate cu schema Bernoulli.
Metodă pentru rezolvarea problemelor de număr redus de fotografii
Să luăm în considerare la început sarcinile elementare care pot fi rezolvate printr-o metodă de căutare.
Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este scăzută de 2 ori. Găsiți probabilitatea ca vulturii și sitele să scadă aceeași valoare.
Soluție: Moneda este aruncată de 2 ori. Scriem toate combinațiile posibile, unde se indică cu litera O-vultur, F-cozi.
Total 4 rezultate. Vom scrie sau vom desemna acele rezultate care ne sunt potrivite, acestea sunt 2. și 3. cazuri (1 vultur și 1 cron). Sa dovedit că doi din patru se potrivesc. Să găsim probabilitatea de la
După cum puteți vedea că problema este rezolvată foarte ușor, ar exista toate acestea în USE. Să luăm în considerare încă o problemă.
Moneda este aruncată de 4 ori. Găsiți probabilitatea ca cozile să nu cadă o singură dată.
Soluție: scriem toate rezultatele posibile
Un total de 16 rezultate. Cozile nu vor renunța o singură dată, această condiție este satisfăcută numai de un rezultat al OOOO.
Să găsim probabilitatea de la
Am rezolvat problema într-un mod simplu, manual, adică printr-o metodă de căutare. Și acum imaginați-vă că, dacă moneda ar fi aruncat nu 4, dar de 10 ori. Cu o creștere a numărului de repetări, acest lucru va fi dificil de făcut. Prin urmare, această metodă de rezolvare a problemelor este acceptabilă numai pentru un număr mic de repetări.
Metodă, pentru rezolvarea problemelor, dacă o monedă este aruncată de mai multe ori la rând
Ce se întâmplă dacă aruncați o monedă de multe ori la rând? Aici, așa-numita schemă de teste repetate ne va ajuta. Această schemă a fost propusă de remarcabilul om de știință Jacob Bernoulli (1654-1705) și poartă numele său. Astfel de situații, când de multe ori aruncați monede, zaruri sau trageți de mai multe ori - sunt foarte frecvente. Sarcinile pentru "zaruri" vor fi discutate în următoarea lecție. Și acum să discutăm în detaliu problemele de "aruncare a monedelor".
Cu fiecare test există două rezultate la fel de probabile: O-a coborât vulturul, R - coada a căzut. Să spunem că moneda a fost aruncată de câteva ori la rând. Câte rezultate consecutive pot obține? Dacă se efectuează teste repetate independente fără a schimba condițiile, atunci probabilitatea apariției evenimentului A în fiecare test este aceeași. Astfel de teste se numesc schema Bernoulli.
Probabilitatea ca evenimentul A dintr-o serie de încercări n să aibă loc exact de câte ori este găsit de formula lui Bernoulli:
unde p este probabilitatea apariției evenimentului A în fiecare încercare
q = 1-p este probabilitatea evenimentului opus.
Luăm o formulă specială pentru rezolvarea problemelor legate de "aruncarea monedelor".
Rezolvăm această problemă într-o formă generală:
Care este probabilitatea ca, pentru n role dintr-o monedă simetrică, un "vultur" să scadă exact de m ori.
Soluție: Evenimentul elementar în această problemă va fi o linie de lungime n de două simboluri O și P.
Numărul de evenimente este de 2 n. Probabilitatea apariției unui eveniment fix este p = (1/2) n. Numărul de rânduri care au exact m ori caracterul O, C n este egal cu m - atât de multe moduri, puteți alege locurile unde vor fi un simbol al A. Astfel, probabilitatea ca pentru n moneda tosses exact m ori „capete“ va fi egal cu
Da, pe idee, și se pare că, dacă se rezolvă sub formula lui Bernoulli. Deoarece probabilitatea unei monede poate fi p = 1/2 (sau cozi sau capete), iar probabilitatea q eveniment opus = 1-1 / 2 = 1/2. Înlocuindu-ne în formula Bernoulli, obținem
Pentru a facilita rezolvarea problemei "aruncării monedelor", este necesar să ne amintim această formulă în această formă. Această formulă specială este potrivită pentru rezolvarea problemelor cu monede.
Lăsați moneda să scadă n de câte ori. Apoi, probabilitatea că vulturul va cădea de m ori poate fi găsit din formula
unde C m este numărul de combinații de elemente n peste m.
Acum, se pune întrebarea, cum calculați acest număr de combinații? În condiția sarcinii, se indică numărul de teste și numărul de picături de vultur sau de cozi. Apoi, numărul de combinații se calculează după cum urmează. Fie testele n = 4, numărul repetițiilor (de trei ori) m = 3, apoi calculăm cu formula
Factorii se calculează după cum urmează
1) Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea că vulturul a căzut exact de 2 ori.
2). Într-un experiment aleator, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea că vulturul va cădea exact 1 dată.
3). De două ori aruncă o monedă simetrică. Găsiți probabilitatea ca ambele părți să renunțe.
4). De două ori aruncă o monedă simetrică. Găsiți probabilitatea că ambele cozi au căzut.
5). Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea că vulturul nu va cădea o singură dată.
6). Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea că vulturul va cădea exact 1 dată.
7). Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea că vulturul va cădea de trei ori.
Articole similare
-
O soluție de carbonat de sodiu (soluție pH), rezolvând gratuit problemele din chimie
-
Adăugarea și multiplicarea exemplelor de probabilități ale soluțiilor și ale teoriei
Trimiteți-le prietenilor: