1. Metode numerice de integrare
2. Derivarea formulei Simpson
4. Selectarea etapei de integrare
1. Metode numerice de integrare
Problema integrării numerice constă în calcularea integrala
prin intermediul unei serii de valori ale integranței.
Problemele integrării numerice trebuie rezolvate pentru funcțiile specificate de o funcție de tabelă, integralele cărora nu sunt luate în funcțiile elementare etc. Considerăm doar funcțiile unei variabile.
În locul funcției pe care trebuie să o integrăm, integrăm polinomul de interpolare. Metodele bazate pe înlocuirea integrandului cu polinomul de interpolare ne permit să estimăm precizia rezultatului din parametrii polinomului sau să selectăm acești parametri din precizia dată.
Metodele numerice pot fi grupate în mod condiționat prin metoda de aproximare a integranței.
Metodele Newton-Cotes se bazează pe aproximarea unei funcții printr-un polinom de grad. Algoritmul acestei clase diferă numai în gradul polinomului. Ca regulă, nodurile polinomului aproximativ sunt echicontinuoase.
Metodele de integrare spline se bazează pe aproximarea funcției printr-un polinom cu pătrundere.
În metodele de cea mai mare precizie algebrică (metoda Gauss) utilizate special selectate nodurile neravnootnosyaschie care asigură integrarea minimă de eroare pentru un anumit număr de nod (selecționat).
Metodele Monte Carlo sunt utilizate cel mai adesea în calculul integralelor multiple, nodurile sunt alese aleatoriu, răspunsul are un caracter probabilistic.
Indiferent de metoda aleasă, în procesul de integrare numerică, este necesar să se calculeze valoarea aproximativă a integrala și să se estimeze eroarea. Eroarea scade cu n-numărul în creștere
partiții ale unui segment. Cu toate acestea, aceasta crește eroarea de rotunjire
prin însumarea valorilor integralelor calculate la intervalele parțiale.
Eroarea de trunchiere depinde de proprietățile integrand și de lungimea segmentului parțial.
2. Determinarea formulei lui Simpson
Dacă pentru fiecare pereche de segmente construim un polinom al celui de-al doilea grad, apoi îl integrăm și folosim proprietatea aditivității integralului, obținem formula lui Simpson.
Considerăm integrarea pe interval. Înlocuim această integrare cu polinomul de interpolare Lagrange de gradul al doilea, care coincide cu c în punctele:
și se numește formula Simpson.
Valoarea obținută pentru integrabil coincide cu aria trapezului curbilinar mărginit de axă, liniile și parabola care trece prin punctele
Apreciem acum eroarea de integrare prin formula Simpson. Presupunem că y are derivate continue pe interval. Să facem diferența
Pentru fiecare dintre aceste două integrale este deja posibil să se aplice teorema medie, deoarece este continuă pe și funcția este non-negativă în primul interval de integrare și non-pozitiv pe al doilea (adică, nu schimbă semnul pe fiecare dintre aceste intervale). Prin urmare:
(am folosit teorema medie-valoare, deoarece este o funcție continuă;).
Diferențiind de două ori și apoi aplicând teorema valorii medii, obținem pentru o altă expresie:
Din ambele estimări rezultă că formula Simpson este exactă pentru polinomii de grad maxim de trei. Se scrie formula Simpson, de exemplu, sub forma:
Dacă segmentul de integrare este prea mare, atunci este împărțit în părți egale (presupunând), apoi la fiecare pereche de segmente învecinate. aplicați formula Simpson, și anume:
Vom scrie formula Simpson în forma generală:
Eroarea formula Simpson - metoda a patra:
Deoarece metoda Simpson permite obținerea unei precizii ridicate, dacă nu prea mare. În caz contrar, metoda de ordinul doi poate oferi mai multă precizie.
De exemplu, pentru o funcție, forma unui trapez cu for oferă un rezultat exact, în timp ce prin formula lui Simpson ajungem
3. ilustrare geometrică;
Pe un segment de 2h lungime este construită o parabolă, trecând prin trei puncte. Zona sub parabolă, cuprinsă între axa OX și liniile drepte, este considerată egală cu integrala.
O caracteristică specială a aplicării formulei Simpson este faptul că numărul partițiilor din intervalul de integrare este egal.
În cazul în care numărul de segmente ale partiției - este impar, atunci, pentru primele trei segmente ale formulei trebuie aplicată, care folosește un al treilea grad parabole care trece prin primele patru puncte pentru a aproxima integrantul.
Aceasta este formula lui Simpson de trei optzeci.
Pentru un interval arbitrar de integrare, formula (4) poate fi "extinsă"; numărul de segmente parțiale trebuie să fie mai mare de trei (puncte).
Este posibil să se obțină formule Newton-Cotes de ordin superior.
- numărul de segmente ale partiției;
- gradul de polinom folosit;
- derivat din prima ordine în acest punct;
Tabelul 1 enumeră coeficienții. Fiecare linie corespunde unui set de decalaje de noduri pentru construirea unui polinom al puterii k. Pentru a utiliza această schemă pentru mai multe seturi (de exemplu, pentru k = 2 și n = 6), trebuie să "continuați" coeficienții și apoi să le adăugați.
Algoritmul de estimare a erorii trapezului și a formulelor Simpson poate fi scris în forma: (7),
unde este un coeficient care depinde de metoda de integrare și de proprietățile integrand;
h este etapa de integrare;
p este ordinea metodei.
Norma Runge este folosită pentru a calcula eroarea prin calculul dublu al integralului cu pașii h și kh.
(8) este o estimare a posteriori. Apoi I + = Ro (9), valoarea rafinată a integrala.
Dacă ordinea metodei este necunoscută, este necesar să calculam pentru a treia oară cu un pas, adică:
din sistemul a trei ecuații:
cu necunoscute I, A și p obținem:
Rezultă din (10) că (11)
Astfel, metoda de redare dublu, folosit de multe ori este necesar, permite sa calculeze integrala cu un grad predeterminat de precizie. Selectarea numărului necesar de partiții se efectuează automat. Puteți utiliza accesul multiplu la subrutinele metodelor de integrare corespunzătoare, fără a schimba algoritmii acestor metode. Cu toate acestea, metodele folosind nodurile ravnootnosyaschie, este posibil să se modifice algoritmii și să reducă la jumătate numărul de calcule integrandul utilizând sume Riemann acumulate pe parcursul intervalului de integrare anterior partițiile multiple. Două valoarea aproximativă a integralei și calculată prin metoda trapezoidală și etapele sunt legate de:
În mod similar, pentru integrale calculate prin formula cu pași și următoarele relații dețin:
4. Selectarea etapei de integrare
Pentru a selecta pasul de integrare, puteți utiliza expresia termenului rest. Să luăm, de exemplu, restul termenului din formula lui Simpson:
În cazul în care ê ê , atunci ê ê .
Având în vedere acuratețea e a metodei de integrare de la ultima inegalitate, determinăm etapa corespunzătoare.
Cu toate acestea, această metodă necesită o evaluare (care, în practică, nu este întotdeauna posibilă). Prin urmare, se folosesc alte metode de determinare a estimării preciziei, care, în cursul calculelor, fac posibilă selectarea etapei dorite h.
Vom analiza una dintre aceste metode. lăsa
unde este valoarea aproximativă a integrului cu pasul. Reducem pasul de două ori, împărțind segmentul în două părți egale și ().
Să presupunem acum că nu se schimbă prea repede, deci este aproape constantă :. Apoi și, de unde, asta este.
Din aceasta putem trage următoarea concluzie: dacă, adică, dacă ,, și a este precizia cerută, atunci pasul este potrivit pentru calcularea integralului cu suficientă precizie. Dacă, atunci calculul este repetat în pași și apoi comparat și etc. Această regulă se numește regula runge.
Cu toate acestea, atunci când se aplică regula Runge, este necesar să se ia în considerare eroarea calculată: cu o scădere, eroarea absolută în calculul creșterii integrale (dependența de invers este proporțională) și, pentru cele mici, poate fi mai mare decât eroarea metodei. În cazul în care depășește, ruleta Runge nu poate fi utilizată pentru această etapă și precizia dorită nu poate fi obținută. În astfel de cazuri, este necesară creșterea valorii.
Când derivă regula Runge, ați folosit în esență ipoteza că. Dacă există doar un tabel de valori, apoi verificați „pe constanța“ se poate face direct pe dezvoltarea în continuare tabel de salturi algoritm pentru algoritmul adaptiv în care prin selectarea diferitelor etape de integrare în diferite părți ale segmentului de integrare în funcție de proprietățile scade numărul de calcule ale integrantul.
O altă schemă de rafinare a valorilor integrale este procesul lui Einstein. Integolul este calculat cu pași și. Calculul valorilor. Apoi (14).
Măsura corectitudinii metodei Simpson este:
Exemplul 1. Calculați integralele prin formula Simpson, dacă este dată de un tabel. Estimați eroarea.
Articole similare
-
Rezumatul tipurilor de dezastre naturale și metodele de combatere a acestora
-
Metoda parabolelor (metoda Simpson), lucrări gratuite de curs, eseuri și teze
Trimiteți-le prietenilor: