Lăsați seria alternativă să fie dată. Considerăm o serie compusă din valorile absolute ale termenilor lui | a1 | + | a2 | + ... + | an | + ... Evident, aceasta este o serie cu termeni pozitivi.
Se spune că o serie este absolut convergentă. dacă o serie compusă din termenii săi converge.
Teorema. Fiecare serie absolut convergentă converge. Suma unei astfel de serii este egală cu diferența dintre suma seriei sale plus și suma seriilor negative.
Să presupunem că seria a1 + a2 + ... + an + ... converge absolut, adică, seria | A1 | + | a2 | + ... + | o | + ... reprezintă suma parțială a unei serii de module ale membrilor săi prin Transnistria. Au Tn = Tn + + Tn - (în cazul în care Tn + - o anumită sumă parțială plus un număr, t n - - sumă parțială minus-serie.) Având în vedere seria skhodimoti | A1 | + | a2 | + ... + | o | + ... sa parțială suma este Tn limitata de un număr de C. Apoi urmează, TN1 + £ C si Tn2 - £ C, adică, sume parțiale minus și serii plus, de asemenea, delimitate mai sus de C. Conform criteriului de convergenta seriilor cu termeni pozitivi, aceasta implică convergența plus și minus de rânduri, adică, există limite T + = lim T + k și T - = lim T - l. Dacă acum
din egalitate mergem la limita pentru n ® μ, atunci obținem limTn = T + -T -. QED
Condiții de serie convergente.
Seria a1 + a2 + ... + an + ... se spune că este convergentă condiționat. dacă converg, iar seria compusă din modulele termenilor săi diferă.
(Teorema lui Riemann. Dacă seria converge condiționat, ca urmare a rearanjării termenilor săi, se poate obține o serie având orice sumă și, de asemenea, o serie divergentă).
Serii cu termeni complexe. (din cuvintele lui Goncharenko)
Numărul complex este reprezentat ca a + b * i, unde a este partea reală a numărului, i este unitatea imaginară (explic: unitatea imaginară este o unitate a cărei pătrată este "-1").
Dacă se converg sumele resurselor reale (Sαn) și imaginare (Sbn i) ale numerelor complexe, atunci întreaga serie de numere complexe converge. (restul definițiilor sunt similare.)
7. Proprietățile seriei convergente periodice: continuitatea sumei unei serii, diferențierea și integrarea termică. (se presupune că pasarela se va converge uniform).
Funcția S (x), xÎW este suma seriei dacă S (x) = lim n → ∞ S (x). unde S (x) = f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x)
Dacă S (x). x ÎL (LÍ# 8486;) este suma seriei f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) + ... = n = 1 Σ ∞ fn (x) (x).
Se spune că o serie funcțională converge uniform pe setul L la funcția S (x). dacă pentru orice număr e> 0 există un indice N astfel încât pentru n N N, pentru toate xÎL, urmărește următoarea inegalitate: 1S (x) -Sn (x) 1 Dacă seria funcțională converge pe setul L., atunci pe acest set convergența nu trebuie să fie uniformă, totuși la un anumit subset setați L, convergența se poate dovedi a fi uniformă. Un test pentru convergența uniformă Weierstrass. Dacă termenii seriei funcționale f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) + ... satisfac pe setul L inegalitatea ½ fn (x) ½≤Cn (n = 1,2 ...). unde Cn sunt termeni ai unei serii numerice convergente C1 + C2 + ... + Cn + ... atunci seria funcțională converge uniform pe setul L. Dacă funcțiile fn (x) sunt continue pe [a, b], seriile f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) 1. Funcția f (x) pe [a, b] este continuă Dacă fn (x) are un derivat continuu pe [a, b] și pe acest interval Def. Exprimarea forma A0 + A1x A2H + 2 + ... + ak × K + .... (*) unde a0, a1, a2, ... - unele secvențe numerice sunt numite serii de putere. a0, a1, a2, ... sunt coeficienții seriilor de putere. Dacă x este dată valorilor numerice, atunci vom obține numărul. Rânduri care pot converge și difera. Setul X pentru care converge seria (*) se numește domeniul de convergență. 1) Dacă seria (*) converge la un anumit punct x0 ≠ 0, atunci această serie va converge și pentru toate x care îndeplinesc condiția: | x |<|х0|. 2) Dacă seria (*) se diferențiază în p. Х1 ≠ 0, atunci această serie diferă pentru toate x: | x |> | x1 |. Doc. 1). Prin seria de putere, seria a0 + a1x0 + a2x0 2 + ... + ak x0 k + ... (**) converge, prin urmare ak x0 k → 0 ca k → ∞. Prin urmare, secvența convergentă la x0 k> este limitată, i. Există o constantă M astfel încât | ak x0 k | Să presupunem că | x |<|х0|, тогда |ак х к |=|ак х0 к ||х/х0|<М|х/х0| к. причем |х/х0|<1. Поэтому члены ряда (***) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда M + M | x / x0 | + M | x / x0 | 2 + ... + M | x / x0 | k + ... sunt sume ale unei progresii geometrice infinit de descreștere. Prin urmare, seria (***) converge, iar seria (**) converge absolut. 2) Să presupunem că seria (**) diferă pentru x = x1, dar pentru unele x: | x \> x1 Prin prima parte a teoremei, seria (**) converge absolut pentru x = x1, prin urmare am obtinut o contradictie.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: