Considerăm un sistem m de ecuații algebrice liniare în raport cu n necunoscute
x1. x2. xn.
O soluție a sistemului este colecția de valori n de necunoscute
sub înlocuirea căruia toate ecuațiile sistemului devin identități.
Sistemul de ecuații liniare poate fi scris în formă de matrice:
unde A este matricea sistemului, b este partea dreaptă, x este soluția dorită și Ap este matricea extinsă a sistemului:
Un sistem care are cel puțin o soluție. numita comună; un sistem care nu are o singură soluție - una incompatibilă.
Un sistem omogen de ecuații liniare este un sistem a cărui parte dreaptă este egală cu zero:
Forma matriceală a unui sistem omogen este Ax = 0.
Un sistem omogen într-un mod coerent. deoarece orice sistem liniar omogen are cel puțin o soluție:
Dacă un sistem omogen are o soluție unică, atunci această soluție unică este zero, iar sistemul se spune că este trivial comun. Dacă un sistem omogen are mai multe soluții, atunci există soluții nenuloase printre acestea, iar în acest caz sistemul este considerat compatibil nettriviale.
Se demonstrează că pentru m = n, pentru o compatibilitate non-trivială este necesară și suficientă. astfel încât determinantul matricei sistemului să fie zero.
EXEMPLUL 1. Compatibilitatea nontrivială a unui sistem omogen de ecuații liniare cu o matrice pătrată.
Aplicarea algoritmului de eliminare Gauss la matricea sistemului. am reduce matricea sistemului la o formă pas cu pas
Numărul r al rândurilor nonzero în forma pas cu pas a matricei se numește rangul matricei, notat cu
r = rg (A) sau r = Rg (A).
Pentru ca un sistem omogen să fie compatibil nettrivial, este necesar și suficient ca rangul r al matricei sistemului să fie mai mic decât numărul de necunoscute n.
EXEMPLUL 2. Compatibilitatea nontrivială a unui sistem omogen de trei ecuații liniare cu patru ne-evidente.
Dacă un sistem omogen nu este trivial, atunci acesta are un set infinit de soluții, iar combinația liniară a oricărei soluții a sistemului este, de asemenea, soluția sa.
Se demonstrează că printre seturile infinite de soluții ale unui sistem omogen putem identifica exact soluții n-r independente liniar.
Setul de soluții n-r liniar independente ale unui sistem omogen este numit un sistem fundamental de soluții. Orice soluție a sistemului este exprimată liniar printr-un sistem fundamental. Astfel, dacă rangul r al matricei A al sistemului liniar omogen Ax = 0 este mai mic decât numărul de necunoscute n și vectorii
e1. e2. en-r formează sistemul său fundamental de soluții (Aei = 0, i = 1,2, n-r), atunci orice soluție x a sistemului Ax = 0 poate fi scrisă sub forma
unde c1. c2. cn-r sunt constante arbitrare. Expresia înregistrată este numită soluția generală a unui sistem omogen.
Pentru a investiga un sistem omogen înseamnă a stabili dacă este o articulație non-trivială și dacă este, găsiți apoi un sistem fundamental de soluții și scrieți expresia pentru soluția generală a sistemului.
Să investigăm sistemul omogen prin metoda Gauss.
matricea sistemului omogen studiat, a cărui rang r O astfel de matrice este redusă printr-o excepție Gaussiană față de forma pas cu pas Sistemul echivalent corespunzător are forma Transferând variabilele libere în partea dreaptă, obținem formule care determină soluția globală a sistemului. Am pus succesiv valorile variabilelor libere egale cu și să calculeze valorile corespunzătoare ale variabilelor de bază. Soluțiile n-r rezultate sunt independente liniar și, prin urmare, formează un sistem fundamental de soluții pentru sistemul omogen în curs de investigare: EXEMPLUL 3. Investigarea unui sistem omogen pentru compatibilitate prin metoda Gauss.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: