Un criteriu pentru extinderea unei funcții într-o serie Taylor
Să ne întoarcem la rânduri. În §2.7 am stabilit că dacă o funcție poate fi extinsă într-o serie de putere care converge la ea, atunci este o serie Taylor pentru această funcție.
Se pune întrebarea dacă reversul este adevărat. Fie funcția să fie diferențiată infinit pe interval. Putem construi în mod oficial o serie Taylor pentru asta. Dar până acum nu știm dacă funcția noastră va fi suma acestei serii, adică va construi seria Taylor converg către funcția noastră pe interval. În loc de semnul egalității, punem semnul corespondenței:
Să aflăm în ce condiții acest semn poate fi înlocuit de un semn egal. Vom scrie formula lui Taylor pentru funcția:
unde este restul și
Este un polinom Taylor de gradul n, care poate fi considerat o sumă parțială a seriei Taylor. În acest fel,
Termenul rămas al formulei Taylor pentru o funcție poate fi definit ca diferența dintre funcție și suma parțială a seriei Taylor:
Deoarece numărul n este mărit, numărul de termeni din suma parțială, adică în polinomul Taylor, crește, iar restul termenului se modifică. Putem considera succesiunea termenilor rămași. Aceasta este o secvență de funcții definite în aceeași vecinătate a. în care are loc o diferențiere infinită a funcției. Termenul restul arată eroarea obținută atunci când funcția este înlocuită cu suma parțială a seriei Taylor. Este clar că, pentru a obține o aproximare bună, secvența termenilor reziduali trebuie să tindă la zero. În locul combinării "secvenței membrilor reziduali", se spune adesea pur și simplu "termen rezidual".
Teorema 1 Cu privire la condiția necesară și suficientă pentru convergența seriei Taylor la o funcție.
Pentru ca funcția să fie extinsă într-o serie Taylor
pe interval. este necesar și suficient ca el să aibă derivate de orice ordin în acest interval și că restul termenului din această formulă Taylor (2.9.1) tinde la zero pentru toți. când n ® ¥.
Teorema 2 Pe o condiție suficientă pentru convergența termenului rest al formulei Taylor la zero.
Dacă o funcție într-o vecinătate a lui a are derivate de orice ordine delimitate de același număr, atunci restul formulei lui Taylor din această carieră tinde la zero pentru:
Extinderea funcțiilor elementare într-o serie Maclaurin
Luând derivatul este un turn de 90 ° (Nr 2.10.3). Derivatele oricărei ordini sunt limitate:. . Prin urmare, prin Teorema 2. iar funcția se descompune într-o serie Maclaurin convergând la ea în puteri de x:
Se arată că seria obținută converge pe întreaga axă numerică. Prin semnul general al lui D'Alembert:
converge pentru toate x.
Seria (8 *) diferă de extinderea sinusului hiperbolic (2 *) prin semn alternativ.
Prin terminarea diferențierii seriei (8 *) obținem extinderea cosinusului în seria Maclaurin:
pentru că seria (9 *) este obținută prin diferențierea seriei (8 *), apoi prin teorema diferențierii seriilor de putere seria (9 *) are același interval de convergență ca și seria (8 *).
Seria (9 *) diferă de extinderea cosinusului hiperbolic (3 *) prin semn alternativ.
Trimiteți-le prietenilor: