Dacă soluția dorită este într-adevăr o funcție armonică, atunci după înlocuirea acesteia în (401), precum și derivatele acesteia, trebuie să obținem identitatea:
Evident, amplitudinea oscilațiilor a nu poate fi zero, nu poate fi zero la nici un moment arbitrar și valoarea sinusului, deci
Rezolvând această ecuație biquadratică, obținem asta
Acest rezultat înseamnă că oscilațiile celui de-al doilea corp al sistemului reprezintă o suprapunere a două oscilații armonice cu frecvențe. definit de (402):
Având în vedere acest lucru, putem determina legea mișcării pentru primul corp al sistemului, așa cum a fost
Folosind aceste expresii, puteți obține legi specifice de mișcare a corpurilor sistemului în anumite condiții specifice.
a). Primul corp al sistemului este deviat de la poziția sa de echilibru la, iar cel de-al doilea la A de la poziția de echilibru în aceeași direcție ca prima. Apoi, ambele corpuri sunt eliberate fără să se împingă. Valorile deplasărilor inițiale și ale vitezelor corpurilor în acest caz sunt egale cu
Din expresia (403) rezultă că amplitudinea primei componente armonice este zero, adică vibrațiile fiecărui corp apar în conformitate cu o lege armonică cu aceeași frecvență. Amplitudinea b este determinată de la (404): b = A, iar faza inițială este de la (406): La astfel de valori ale amplitudinii și fazei inițiale, legile oscilațiilor corpurilor au forma:
6). Primul corp al sistemului este deviat de la poziția sa de echilibru la, iar cel de-al doilea la A de la poziția de echilibru în aceeași direcție ca prima. Apoi, ambele corpuri sunt eliberate fără să se împingă. Valorile deplasărilor și vitezelor inițiale ale corpurilor pentru acest caz sunt egale.
Rezultă din (404) că în acest caz amplitudinea celei de a doua componente armonice dispare. În consecință, chiar și în acest caz, ambele corpuri efectuează oscilații armonice. De această dată cu frecvență. Amplitudinea oscilațiilor a este determinată din (483) și din faza inițială. Din (405): a = A ,.
Înlocuind valorile amplitudinilor și fazelor inițiale în expresiile generale pentru deplasările corpurilor, obținem legile mișcării lor:
c). Ambele corpuri sunt deviate de pozițiile lor de echilibru la distanțe egale A într-o singură direcție și apoi eliberate fără împingere. Valorile deplasărilor și vitezelor inițiale ale corpurilor în acest caz sunt egale. .
Din expresiile (403), (404), (405) și (406) găsim valorile amplitudinilor componente și ale fazelor inițiale:
Înlocuind valorile amplitudinilor și fazelor inițiale în expresii generale pentru deplasările corpurilor, obținem legile mișcării în forma:
Analizând rezultatele obținute pentru cele trei tipuri de condiții inițiale, se pot observa anumite regularități caracteristice sistemelor vibraționale cu mai multe grade de libertate.
1. într-un sistem oscilator cu mai multe grade de libertate, condițiile inițiale pot fi alese astfel încât sistemul să efectueze una dintre oscilațiile principale (normale), adică corpurile sistemului vor efectua oscilații armonice cu una dintre frecvențele principale (normale).
2. În fiecare dintre oscilațiile normale, amplitudinile sunt într-un raport constant, care nu depinde de condițiile inițiale, ci este determinat de parametrii sistemului, deși amplitudinile individuale sunt determinate din condițiile inițiale.
3. Următoarea caracteristică caracteristică a sistemelor oscilante cu mai multe grade
Libertatea poate fi văzută prin compararea frecvențelor parțiale și frecvenței oscilațiilor.
Frecvențele oscilațiilor parțiale ale sistemului, așa cum este indicat mai sus, sunt egale:
În ceea ce privește frecvențele normale, este convenabil să le exprimăm din (402), luând în considerare relațiile
Din ultimele relații găsim valoarea:
Prin urmare, obținem valorile frecvențelor normale:
Comparând frecvențele parțiale cu una dintre frecvențele normale. obținem:
În consecință, ambele frecvențe parțiale sunt mai mici decât frecvența normală
Comparăm, de asemenea, valorile frecvențelor parțiale cu o altă frecvență normală.
Astfel, ambele frecvențe parțiale sunt mai mari decât a doua frecvență normală. De aici putem formula următoarea caracteristică caracteristică a sistemelor vibraționale cu mai multe grade de libertate: valorile frecvențelor parțiale sunt cuprinse în intervalul dintre valorile frecvențelor normale.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: