Lista literaturii utilizate
Interpolarea funcțiilor joacă un rol important în matematica computațională; construcția printr-o funcție dată a celeilalte (de regulă, mai simplă), ale căror valori coincid cu valorile funcției date la un anumit număr de puncte. Mai mult decât atât, interpolarea are semnificație atât practică, cât și teoretică. În practică, există adesea o problemă de restabilire a unei funcții continue din valorile sale de masă, de exemplu, obținute în cursul unui anumit experiment. Pentru a calcula multe funcții, se dovedește a fi aproximată eficient prin polinoame sau funcții raționale fracționate. Teoria interpolării este folosită pentru construirea și investigarea formulelor de cvadratură pentru integrarea numerică, pentru obținerea metodelor de rezolvare a ecuațiilor diferențiale și integrale.
În cazul nostru, pentru o dezvăluire mai completă a acestui subiect, analizăm mai întâi în detaliu conceptul de interpolare, apoi interpolarea unei funcții direct netede și interpolarea unei funcții netede la un punct.
Obiectiv: studierea interpolării funcțiilor netede și a aplicării practice a funcțiilor de interpolare.
1. Declarația problemei de interpolare
interpolare eroare polinomiale
1.1 Definiția termenului de interpolare
Fie ca funcția f (x) definită pe o parte a lui R să fie cunoscută pentru valorile sale pe un set finit de puncte x1
, x2
, ..., xn
Î [a, b] și în aceste puncte funcția f (x) este definită ca:
Este necesar să se calculeze, cel puțin aproximativ, valorile tuturor celor x.
O astfel de problemă poate apărea în efectuarea diferitelor experimente, când valorile funcțiilor necunoscute sunt determinate la puncte discrete în timp sau în teoria aproximării, când o funcție complexă relativ ușor calculată pentru anumite valori ale argumentului pentru a seta funcțiile de tabelă sau graficul, etc.
De obicei, funcția g (xi
), xi
Î [a, b]. cu ajutorul căruia se face aproximarea, se găsesc astfel încât:
Această metodă de aproximare se numește interpolare sau interpolare. Puncte x1
, x2
, ..., xn
numitele noduri de interpolare, dacă punctul x în care se calculează f (x) se află în afara intervalului [a, b], atunci se folosește extrapolarea termenului. Funcția g (xi
). numit interpolant.
Următoarea întrebare ar trebui să răspundă.
1.2 Cum să alegeți un interpolant
Astfel de funcții sunt construite pe baza combinațiilor de funcții elementare.
Este un sistem fix independent, linear și () sunt parametri încă necunoscuți.
Declarația matematică a problemei interpolării este după cum urmează. Să presupunem că R
- spațiul funcțiilor reale definite pe intervalul [a, b], și este un sistem finit sau numărare dat de funcții de la R
, astfel încât orice subsistem finit din ele să fie liniar independent. Pentru o anumită colecție finită de puncte x1
, x2
, ..., xn
(xi
≠ xj
pentru i ≠ j) aparținând intervalului [a, b] și a unei funcții date f (x) în R
găsi funcția # 966; care este o combinație liniară de funcții, astfel încât la anumite puncte valorile lui f și # 966; a coincis. Cu alte cuvinte, pentru a determina constantele a1
, a2
, ..., an
așa că
Este destul de clar de ce numărul de coeficienți ar trebui să coincidă cu numărul de noduri de interpolare xi
. Acest lucru este necesar pentru ca matricea sistemului să fie pătrată (adică numărul de necunoscute ar coincide cu numărul de condiții din care se află aceste necunoscute). În plus, pentru o solvabilitate unică a sistemului dat (pentru o dreaptă arbitrară) este necesar și suficient ca determinantul său să fie diferit de zero, adică:
În mod natural, interpolantul trebuie să fie construit sub forma unei funcții contabile mai ușoare, adesea sisteme cum ar fi:
1.3 Interpolarea polinomului
Dacă sunt puteri de, ..., xn
>, atunci vorbim de interpolare algebrică, iar funcția se numește polinom interpolare și este desemnată prin:
atunci putem construi un polinom de interpolare de gradul n și mai mult decât unul.
Să găsim un polinom de interpolare al formei (4). În acest moment, bazându-ne pe (5), pentru a găsi coeficienții indeterminați, vom folosi un sistem de ecuații liniare:
În acest caz, determinantul unui sistem de ecuații algebrice liniare arată astfel:
Acest determinant este un determinant Vandermonde și este diferit de zero în cazul în care toate nodurile xi
sunt diferite. Deoarece matricea sistemului este nondegenerată, soluția sistemului există și este unică.
Unicitatea polinomului de interpolare poate fi dovedită în felul următor. Să presupunem că există două polinoame de interpolare
deci există o contradicție. Unicitatea este stabilită. Și deoarece polinomul este unic, sistemul corespunzător al ecuațiilor algebrice liniare are o singură soluție.
1.4 Polinomul de interpolare al lui Lagrange
Acum avem o problemă care constă în găsirea unui polinom de gradul n care coincide cu un anumit f (x) la punctele x1
, x2
, ..., xn
Î [a, b], adică acea egalitate
Pentru a rezolva această problemă, introducem polinoame de gradul n care sunt egale cu zero în punctele pentru i ≠ j și egal cu unul la un punct pentru i = j. Este evident că:
unde constanta A se gaseste din conditia fj
(xj
) = 1, atunci
Astfel, obținem asta
Înțelegem că polinomul rezolvă problema
Trimiteți-le prietenilor: