O relație R pe un set X este considerată a fi reflexivă dacă fiecare element al mulțimii X poate fi spus în relația R cu ea însăși: xRx. Dacă relația este reflexivă, atunci la fiecare vârf al graficului există o buclă. Și înapoi, graficul, fiecare vârf al căruia conține o buclă, este un grafic al unei relații reflexive.
Exemple sunt relații reflexive și raportul dintre „Fold“ numerele naturale (fiecare număr multiplu de sine), și raportul similaritate de triunghiuri (un triunghi similar cu sine), și raportul dintre „egalitate“ (fiecare număr este egal cu sine), și altele.
Există o relație, nu au proprietatea de reflexivitate, de exemplu, raportul dintre segmente perpendiculare: a b, b-o (nu un segment din care putem spune că este perpendicular pe sine). Prin urmare, nu există o singură buclă pe graficul acestei relații.
Nu are proprietatea reflexivității și raportul este "mai lung" pentru segmente, "mai mult cu 2" pentru numerele naturale etc.
Relația R de pe setul X se numește antireflexivă. dacă pentru orice element al lui X este întotdeauna fals xRx:.
Există relații care nu sunt nici reflexive, nici antireflexive. Un exemplu de astfel de relație este relația "punctul x este simetric cu punctul y față de linia dreaptă l", dată pe setul de puncte ale planului. Într-adevăr, toate punctele liniei l sunt simetrice față de ele înseși și punctele care nu se află pe linia l nu sunt simetrice față de ele.
Relația R de pe setul X este considerată a fi simetrică dacă se îndeplinește următoarea condiție: din faptul că elementul x este în raport cu elementul y. rezultă că elementul y este în relația R cu elementul x: xRy yRx.
Graficul unei relații simetrice are următoarea caracteristică: împreună cu fiecare săgeată mergând de la x la y. graficul conține o săgeată care merge de la y la x (Figura 35).
Exemple de relații simetrice pot fi următoarele: raportul dintre ratio „paralelism“ segmentează segmente „perpendicularitate“, atitudinea de segmente „egalitate“, raportul de similaritate de triunghiuri, raportul dintre „egalitate“ etc. fracțiuni.
Există relații care nu au proprietatea de simetrie.
Într-adevăr, dacă segmentul x este mai lung decât segmentul y. atunci segmentul y nu poate fi mai lung decât segmentul x. Graficul acestei relații are o caracteristică: săgeata care leagă vârfurile este direcționată numai către o parte.
Raportul R se numește antisimetric. dacă pentru orice elemente x și y din adevărul xRy falsitatea yRx urmează. xRy yRx.
Pe lângă relația "mai lungă" pe setul de segmente, există și alte relații antisimetrice. De exemplu, raportul "mai mult" pentru numere (dacă x este mai mare decât y, atunci y nu poate fi mai mare decât x), raportul "mai mare", etc.
Există relații care nu posedă nici proprietatea de simetrie, nici proprietatea antisimetriei.
Relația R a setului X se numește tranzitiv dacă din faptul că elementul x este în relația R cu elementul y, iar elementul y este în raportul R cu elementul z. rezultă că elementul x este în raportul R cu elementul z. xRy și yRzxRz.
Graficul grafic al relației tranzitive cu fiecare pereche de săgeți mergând de la x la y și de la y la z. conține o săgeată care merge de la x la z.
Proprietatea tranzitivității este și relația "este mai lungă" pe setul de segmente: dacă segmentul a este mai lung decât segmentul b. Segmentul b este mai lung decât segmentul c. atunci segmentul a este mai lung decât segmentul c. Relația "egalității" cu setul de segmente are de asemenea și proprietatea de tranziție: (a = b, b = c) (a = c).
Există relații care nu au proprietatea tranzitivității. Un astfel de raport este, de exemplu, raportul perpendicularității: dacă segmentul a este perpendicular pe segmentul b. iar segmentul b este perpendicular pe segmentul c. atunci segmentele a și c nu sunt perpendiculare!
Există o altă proprietate a relației, care se numește proprietatea legăturii, iar relația care o deține este numită legată.
Se spune că o relație R pe o mulțime X este conectată dacă pentru orice elemente x și y din setul dat este îndeplinită următoarea condiție: dacă x și y sunt diferite, atunci fie x este în relația R cu elementul y. fie elementul y este în relația R cu elementul x. Cu ajutorul simbolurilor, această definiție poate fi scrisă ca: x yxRy sau yRx.
De exemplu, relația "mai mult" pentru numerele naturale are proprietatea de conectare: pentru orice numere distincte x și y se poate afirma fie x> y. sau y> x.
Pe graficul relației conectate, cele două vârfuri sunt conectate printr-o săgeată. Converse este, de asemenea, adevărat.
Există relații care nu au proprietatea legăturii. De exemplu, o astfel de relație este relația de divizibilitate pe setul de numere naturale: putem numi astfel de numere x și y. că nici numărul x nu este un divizor al numărului y. nici numărul y este un divizor al numărului x (numerele 17 și 11. 3 și 10, etc.).
Să luăm în considerare câteva exemple. Pe setul X = raportul "numărul x este un multiplu al numărului y" este dat. Construim graficul acestei relații și formulăm proprietățile sale.
Despre raportul egalității fracțiunilor spun, este o relație de echivalență.
O relație R pe un set X este numită o relație de echivalență dacă are în același timp proprietatea reflexivității, simetriei și tranzitării.
Exemple de relații de echivalență sunt: relația de egalitate a figurilor geometrice, paralelismul liniilor (cu condiția ca liniile coincide să fie considerate paralele).
În raportul "egalității fracțiunilor" considerat mai sus, setul X este împărțit în trei subseturi: <; ;>, <;>,<>. Aceste subseturi nu se intersectează, iar unirea lor coincide cu setul X. avem o partiție a setului în clase.
Deci, dacă o relație de echivalență este dată pe setul X, atunci ea generează o partiție a acestui set în subseturi disjuncte pereche - clase de echivalență.
Deci, am stabilit că relația de egalitate pe set
X =<; ; ; ; ;> corespunde unei divizări a acestui set în clase de echivalență, fiecare reprezentând fracțiuni egale.
Principiul împărțirii unui set în clase prin intermediul unei relații de echivalență este un principiu important al matematicii. De ce?
În primul rând, echivalent - înseamnă echivalent, interschimbabil. Prin urmare, elementele din aceeași clasă de echivalență sunt interschimbabile. Astfel, fracțiunile care se află în aceeași clasă de echivalență <; ;>, sunt indistinguizabile din punctul de vedere al relației de egalitate, iar fracțiunea poate fi înlocuită de alta, de exemplu. Și acest înlocuitor nu va schimba rezultatul calculelor.
În al doilea rând, deoarece clasa de echivalență sunt elementele pot fi distinse din punct de vedere al unei relații, se consideră că clasa de echivalență este definită de către oricare dintre reprezentantul său, și anume un element arbitrar al clasei. Astfel, orice clasă de fracțiuni egale poate fi specificată prin specificarea oricărei fracțiuni aparținând acestei clase. Determinarea clasei de echivalență a unui reprezentant în loc de a permite tuturor elementelor populației țintă a reprezentanților claselor de echivalență. De exemplu, raportul de echivalență „au același număr de noduri“ definite pe set de poligoane, generează o partiție din multitudinea de triunghiuri pe clase, patrulatere, pentagoane etc. proprietățile inerente unei anumite clase sunt considerate de unul dintre reprezentanții săi.
În al treilea rând, împărțirea unui set în clase utilizând o relație de echivalență este folosită pentru a introduce noi concepte. De exemplu, conceptul de "un pachet de linii drepte" poate fi definit ca fiind ceva obișnuit, încât au linii paralele între ele.
Un alt tip important de relație este relația de ordine. Luați în considerare problema. Pe setul X = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10> este dată relația "de a avea același rest la împărțirea cu 3". Această relație generează partiția setului X în clase: una va conține toate numerele, împărțind care cu 3 se obține în restul de 0 (acestea sunt numerele 3, 6.9). În al doilea - numere, atunci când împărțirea cu 3 în restul este 1 (acest număr este 4, 7, 10). Al treilea va include toate numerele, împărțind care cu 3 în rest produce 2 (acest număr este 5, 8). Într-adevăr, mulțimile obținute sunt disjuncte și unirea acestora coincide cu setul X. În consecință, relația "de a avea același rest la împărțirea cu 3", dată pe setul X este o relație de echivalență.
Să luăm un alt exemplu: o mulțime de elevi din clasă pot fi ordonate în funcție de înălțimea sau vârsta lor. Observăm că această relație are proprietățile antisimetriei și ale tranzitării. Sau toți știu ordinea literelor din alfabet. Oferă o atitudine "trebuie".
Relația R de pe setul X se numește o relație de ordin strictă. dacă are simultan proprietățile antisimetriei și ale tranzitării. De exemplu, relația "x Dacă relația are proprietățile reflexivității, antisimetriei și tranzitării, atunci va fi o relație de ordine nestricătoare. De exemplu, raportul "xy". Exemple de relații de ordine sunt: relația "mai mică" pe setul de numere naturale, raportul "mai scurt" pe setul de segmente. Dacă relația de ordin are și proprietatea legăturii, atunci ei spun că este o relație de ordin liniar. De exemplu, raportul "mai mic" pe setul de numere naturale. Se spune că o mulțime X este ordonată dacă este dată o relație de ordin. De exemplu, o multitudine de X = 2, 8, 12, 32 „poate fi comandat cu ajutorul relației«mai puțin decât»(Fig. 41), și se poate face folosind relația«pliul»(fig. 42). Dar, fiind o relație de ordin, relațiile "mai puțin" și "mai multe" ordonă setul de numere naturale în moduri diferite. Raportul dintre „mai puțin“ permite compararea oricăror două din multitudinea de X și raportul dintre „ori“ nu are nici o astfel de proprietate. De exemplu, o pereche de numere de 8 și 12, raportul dintre „multiplica“ nu este legat: nu putem spune că este un multiplu de 8, 12 sau 12 este un multiplu de 8. Nu trebuie să ne gândim că toate relațiile sunt împărțite în relații de echivalență și ordine. Există un număr foarte mare de relații care nu sunt nici relații de echivalență, nici relații de ordin. Este utilă formarea brânzei cu o substanță, substanțe, cât de mult poate Mushroom veselka fotografie, descriere, proprietăți medicinale
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: