Sisteme inconsistente de ecuații liniare

Luați în considerare un sistem incompatibil al ecuațiilor liniare

relativ necunoscut. Din moment ce sistemul (5.6) este inconsistent, înseamnă că nu există un astfel de set de numere. care, atunci când este înlocuit în sistem (5.6), în loc de necunoscute, ar transforma fiecare ecuație a sistemului într-o identitate.







Înlocuind numere diferite de numere în loc de necunoscute în părțile din stânga ale ecuațiilor (5.6), vom obține un set de numere.

Este necesar să găsiți un astfel de set de numere. că deviația medie pătrată a numerelor corespunzătoare de la aceste valori. și anume înțelesul expresiei

a fost cea mai mică în comparație cu alte valori posibile. Observăm că cerința de a găsi cea mai mică valoare a lui (5.7) înseamnă cerința de a găsi astfel de valori ale coeficienților. pentru care valorile absolute ale erorilor au fost, într-un anumit sens, mici în agregat.

Pentru a rezolva problema, introducem vectori. componente ale acestora sunt coloane de coeficienți, respectiv, adică,

Indicăm prin combinația liniară a vectorilor (5.8), astfel încât

unde numerele iau orice valoare.

Setul tuturor combinațiilor liniare (5.9) formează un subspațiu. Din punct de vedere geometric, este clar că expresia (5.7) are cea mai mică valoare atunci când vectorul coincide cu perpendicularul cu proiecția vectorului pe subspațiu. Aceasta înseamnă că vectorul trebuie să fie ortogonal la fiecare vector. și anume trebuie să satisfacă egalitățile

Înlocuirea vectorului în toate ecuațiile (5.10) cu expresiile corespunzătoare din (5.9) și efectuarea operațiilor evidente, obținem un sistem de ecuații liniare neomogene cu privire la necunoscute.







Întrucât problema prezentată are o soluție unică, factorul determinant al sistemului (5.11)

este diferită de zero și, prin urmare, de teorema lui Cramer, obținem expresii pentru coeficienți.

Din cele de mai sus rezultă că setul de numere obținute rezolvă problema prezentată.

Metoda celor mai mici pătrate

În practică, această problemă apare adesea: se știe că cantitatea depinde liniar de cantități, astfel încât egalitatea

dar coeficienții sunt necunoscuți. Pentru a le determina, cantitățile (aici) sunt măsurate cu aceeași precizie. adică numerele și măsurătorile corespunzătoare ale cantităților sunt cunoscute. adică numerele sunt cunoscute. Aceasta înseamnă că ecuațiile sistemului (5.6) trebuie îndeplinite. Dar din cauza unor erori necunoscute în măsurători, acest sistem va fi, în general, incompatibil. Se pune problema determinării coeficienților astfel încât fiecare ecuație să fie satisfăcută aproximativ, dar cu o eroare comună cel puțin. În cazul în care media abaterilor de cantități este luată ca măsură de eroare

din cantități cunoscute. și anume (5.7), atunci ajungem la problema rezolvată în §2.

În Fundamentele de Chimie, D.I. Mendeleyev oferă date experimentale privind solubilitatea azotatului de sodiu în funcție de temperatura apei. În 100 de părți de apă, următorul număr de condițional

la temperaturi adecvate

Din considerentele teoretice rezultă că partea cantitativă a acestui proces poate fi descrisă prin ecuație

unde - temperatura în grade, - solubilitatea în părțile convenționale pentru 100 de părți de apă, și - sunt necunoscute. Dacă înlocuim în (5.14) numerele corespunzătoare din acest tabel, obținem un sistem de șase ecuații

care este inconsistentă. În acord cu ceea ce sa spus în §2, introducem trei vectori

și apoi calculați 5 produse scalare

Sistemul de ecuații (5.11), în cazul nostru, ia forma

decizia pe care o vom primi; . astfel încât dependența dorită să ia forma

Dacă înlocuim în ecuație valorile temperaturii apei din acest tabel, obținem numerele părților condiționate

ceea ce indică un bun acord cu datele experimentale.







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: