Definiția 16: Un produs scalar format din două vectori este un număr. egal cu produsul lungimilor acestor vectori de către cosinusul unghiului dintre ele:
Teorema 5 Două vectori sunt perpendiculare dacă și numai dacă produsul lor scalar este zero.
Să dovedim această teoremă.
Lasă-l să fie. apoi unghiul dintre ele. Calculăm și înlocuim-o în formula pentru calculul produsului scalar al vectorilor, obținem:
Astfel, am demonstrat că dacă vectorii sunt perpendiculați, atunci produsul lor scalar este egal cu zero.
Se dovedește afirmația inversă: dacă produsul scalar al vectorilor este egal cu zero, atunci vectorii sunt perpendiculați:
Având în vedere :. pentru că vectori sunt diferiți de vectorul zero, atunci. Prin condiție. care urma să fie dovedită.
Proprietățile unui produs scalar:
1. (Legea privind deplasarea)
2. (o lege combinată)
3. (legea distribuției)
4. (formula pătrată scalară)
Teorema 6 Produsul scalar al două vectori este egal cu suma produselor cu coordonatele lor corespunzătoare:
Cum se obține această formulă?
Alocarea: 1) Dovada că vectorii sunt perpendiculari.
Soluție: Prin presupunere, coordonatele vectorilor sunt cunoscute: Prin Teorema 6, găsim produsul lor scalar, obținem :.
2) Găsiți unghiul dintre vectori
Soluție: Folosim formula din corolarul Teoremei 6:
Definiția 17: Produsul vectorial al două vectori se numește produsul vectorial. îndeplinind următoarele condiții:
1. Lungimea vectorului este egală cu produsul lungimilor vectorilor și sinusului unghiului dintre ele:
3. vectori. și formează triple-dreapta vectorilor.
Desemnarea produsului vectorial: sau.
Din definiție urmează:
1. Lungimea produsului vectorial este egală cu aria paralelogramului construit pe vectorii u redusă la originea comună:
2. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci produsul lor vectorial este egal cu zero. Converse este, de asemenea, adevărat.
Proprietățile produsului vectorial:
Teorema 7 Dacă sunt date coordonatele vectorilor, atunci
Există, de asemenea, un produs mixt de vectori: un produs mixt de vectori este un număr definit de formula:
Întrebări pentru controlul cunoștințelor:
1. Definiți vectorul.
2. Ce vector se numește zero? singur?
3. Definirea vectorilor egali.
4. Care este lungimea vectorului?
5. Vectori și au aceeași lungime. Este adevărat că acești vectori sunt egali?
6. Segmentele AB și CD aparțin liniilor paralele. Sunt și vectorii egali?
7. Ce cantități fizice sunt cantitățile vectoriale: a) temperatura; b) viteza; c) greutate; d) densitatea materiei; e) accelerarea; e) zona; g) vigoare?
8. Ce vectori se numesc coliniari?
9. Este adevărat că vectorul zero este coliniar la orice vector din plan?
10. Se știe că. Putem spune că vectorii sunt coliniari?
11. Ce operații liniare pot fi efectuate pe vectori?
12. Dați definiția sumei a doi vectori.
13. Definirea diferenței dintre cele două vectori.
14. Suma celor două vectori este egală cu vectorul zero. Ce sunt numite aceste vectori?
15. Formulează conceptul unei combinații liniare de vectori.
16. Care este condiția pentru dependența liniară a vectorilor?
17. Care este condiția pentru independența liniară a vectorilor?
18. Ce se numește o bază în avion?
19. Formulează conceptul coordonatelor unui vector.
20. Formulează regulile de adăugare, scădere, multiplicare prin numărul de vectori în formă de coordonate.
21. Se știe că. Ce puteți spune despre vectori și?
22. Dați conceptul de vector de rază.
23. Formulează regula pentru găsirea coordonatelor vectorului.
24. Care este lungimea vectorului?
25. Ce se numește un produs scalar al vectorilor?
26. Formulează condiția perpendicularității a doi vectori.
27. Două vectori sunt date de coordonatele lor. Cum să găsim unghiul între aceste vectori?
28. Este adevărat că din următoarele: 1) și colinear; 2); 3) și co-regizat; 4) și sunt îndreptate opus; 5); 6) și; 7) și?
29. Este egalitatea = egalitatea?
30. Care este poziția relativă a punctelor A, B și M dacă vectorii u și sunt coliniari?
31. Ce condiție trebuie să satisfacă vectorii u. că vectorul + împarte unghiul între vectori și?
32. Cum ar trebui vectorii și. ale căror lungimi sunt cunoscute astfel încât lungimea vectorului este: 1) cea mai mare; 2) cel mai mic?
33. Este adevărat că pentru orice vector și inegalități
34. Ce condiții trebuie vectorii și. că următoarele relații dețin:
35. Sunt vectori și sunt coliniari? dacă vectorii sunt coliniari și?
36. La ce valori k este lungimea vectorului. 1) este egal cu lungimea vectorului; 2) este mai mare decât lungimea vectorului; 3) mai mică decât lungimea vectorului; 4) este egal cu zero?
37. Cum se găsesc punctele M, A și B dacă:
38. Unghiul dintre vectori poate fi egal cu: 270 °; 180 °; 0 °; 45 °?
39. În ce interval este unghiul dintre vectori și. dacă: 1); 2) 1)?
40. Care este lungimea segmentului AB, dacă?
41. Cum sunt aranjate liniile AB și AC, dacă;
42. Dacă rezultă din egalitate. unde este vectorul unitar, egalitatea vectorilor și?
43. Sunt vectori și avioane egale, dacă egalitatea este valabilă: pentru orice vectori; 2) pentru doi vectori perpendiculari?
44. Care un unghi formează un vector cu vectorul 1); 2)?
45. Poate vectorul spațial să formeze un unghi de 30 ° cu axa x și un unghi de 45 ° cu axa z?
46. Care dintre punctele A (2; -5); B (3; 2); C (-4; 1); D (-1; -2); 2) este cel mai apropiat de axa y; 3) în al doilea trimestru; 4) în al patrulea trimestru?
47. Pentru ce valori ale lui a sunt punctele A (3; 2) și B (a; -1) situate: 1) pe o linie dreaptă paralelă cu axa y; 2) la aceeași distanță față de axa y?
48. Pentru ce valori ale m este vectorul (2; m) egal cu vectorul (2; 1 / m);
49. La ce valoare a k este vectorul (k; 0) colinar cu vectorul (0; k)
50. Sunt vectorii u?
51. Punctele (3; -7), (-5; 4), (27; -40) se află pe o linie dreaptă?
52. Sunt linii care parcurg punctele (1; -1), (2; 1) și (3; 5); (-1; -3) sunt paralele;
Exerciții pentru soluția -
1. Vârfurile paralelogramelor sunt punctele A, B, C și D. Este necesar: 1) să se definească vectori nenuloși cu puncte finale în aceste puncte; 2) găsiți toate perechile de vectori coliniari; 3) găsiți toate perechile de vectori noncoliniari.
2. Extindeți vectorul de-a lungul vectorilor unității și găsiți lungimea lui dacă A (1; 3); B (4; 2). Care sunt coordonatele vectorului?
3. Se dau vectorii. Găsiți: 1); 2); 3); 4); 5).
4. În sistemul de coordonate dreptunghiular, trageți vectorii și găsiți lungimea lor. Calculați unghiul dintre aceste vectori.
5. Se dau patru puncte: A (-3; -1); B (-1; 3); C (5; 0); D (3; -4). Sunt vectori și egali? Explicați răspunsul.
6. Construiți vectorii și. dacă A (2; 3); B (-4; -1). Dovedeste ca aceste vectori nu sunt coliniari.
7. Găsiți unghiul dintre vectori și. Dacă vectorii unității și unghiul dintre ele sunt 120 0.
8. Construiți un triunghi ABC cu vârfurile A (1; 4), B (-5; 0); C (2; -1) în sistemul de coordonate dreptunghiulare și calculați lungimea VM mediană. Găsiți extinderea vectorului în raport cu vectorii și. Extindeți vectorul în termeni de bază.
9. Găsiți punctul pe axa Oy, echidistant față de punctele A (6; 12) și B (-8; 10).
10. Punctul C (3; 5) împarte segmentul AB în raport. Găsiți originea segmentului dacă B (-1; 1).
11. Gasiti punctul M echidistant fata de axele coordonatelor si din punctul A (-4; 2).
12. Gasiti punctul M a carui distanta fata de axa abscisa si de punctul A (-2; 4) este de 10.
13. Dovada că punctele A, B, C, D sunt vârfuri ale paralelogramului dacă se știe că nu se află pe aceeași linie și vectori nenuloși și sunt egali.
14. Este dat un paralelogram ABCD. Punctele M se află pe partea CD-ului. Găsiți suma vectorilor
1); 2); 3); 4).
15. Încărcarea coboară pe un parașut cu viteză mare. Vântul o lasă deoparte cu viteză. La ce unghi se va coborî sarcina pe verticală, dacă
16. Fie O punctul de intersecție al diagonalelor paralelogramei ABCD. Găsiți x dacă:
17. Dovediți că lungimile vectorilor u sunt egale dacă vectorii u sunt perpendiculari.
18. Având în vedere un triunghi regulat ABC cu partea 2. Punctele M și N sunt punctele medii ale laturilor AB și BC. Găsiți produse scalare de vectori:
19. Gasiti coordonatele proiectiilor punctului A pe axele coordonatelor, daca A (2; -1).
20. Având un vector (-1; -2). Identificați coordonatele punctului B dacă sunt cunoscute coordonatele punctului A:
21. Sunt vectorii co-liniari:
1) (1; 2) și (-2; -4); 2) (1; -1; 2) și (2; 2; -4);
3). dacă A (8; -2); B (3; 4); C (11; 7); D (-21; 19);
22. Calculați produsul scalar al vectorilor:
1) (-2; 3) și (3; 4); 2) (1) și (2);
3) și. unde A (-2; 4); B (3; -6), C (5; -3);
23. Sunt vectorii perpendiculați:
1) (-2; 3) și (-1; 2); 2) (4; -1) și (3; 12);
24. Găsiți lungimea vectorului:
3). unde A (1; 3) și B (-2; 0);
25. Găsiți unghiul dintre vectori:
1) (1; 1) și; 2) (1; 1) și;
26. Gasiti perimetrul triunghiului ABC si magnitudinea unghiurilor sale, daca: A (6; 7); B (3; 3); C (1; -5).
27. Gasiti coordonatele mijlocului segmentului AB daca: 1) A (-4; 3), B (-2; 5); 2) A (-4,3), B (-2,5).
28. Având un segment cu puncte finale A (1; -3) și B (31; 17). Determinați coordonatele punctelor segmentului care o împart: 1) în jumătate; 2) în trei părți egale; 3) în șase părți egale.
29. Găsiți coordonatele capetelor segmentului care se află pe axele coordonatelor, dacă mijlocul său este în punctul:
1) Se dau doi vectori: și. necesită:
a) construi vectori;
b) calcularea ariei paralelogramului construit pe aceste vectori;
c) găsiți suma și diferența acestor vectori;
d) calculați lungimea fiecărui vector;
e) determinarea coordonatelor vectorului coliniar cu vectorul și având o lungime de trei ori mai mare decât lungimea vectorului.
2) Având în vedere un triunghi ABC: A (-5; 3), B (1; 4); C (3; -1). În triunghi, AK-ul median este construit. necesită:
a) găsim extinderea vectorului în raport cu vectorii u;
b) extinde vectorul în raport cu baza.
1) Se dau doi vectori. M (-2,3), N (2, 1), K (-1; 2), P (4; -2). necesită:
a) construi vectori;
b) găsiți suma și diferența acestor vectori;
c) găsiți lungimea fiecărui vector;
d) determină coordonatele vectorului perpendicular pe vector și trecând prin punctul (1; 4);
e) găsim produsul scalar al vectorilor.
2) Având un triunghi ABC: A (-5; 3), B (1; 4); C (3; -1). Înălțimea AD este construită în triunghi. necesită:
a) găsim extinderea vectorului în raport cu vectorii u;
b) extinde vectorul în raport cu baza.
Articole similare
-
Prezentare pe tema epicelor de poezie populara rusa despre eroi
-
Vector m, mobilier pentru copii, feedback, opinii, sfaturi și mobilier de catalog pentru grădinițe
Trimiteți-le prietenilor: