Teorema limitei centrale

Fragmentul textului lucrării

§ 25. Teorema limitei centrale.

Teorema. (CLT). Fie X1, X2, ... să fie o secvență de variabile aleatoare independente cu aceeași lege de distribuție și speranța matematică finită și varianța și G 2. Apoi, când probabilitatea ca în cazul în care.

N (x) este funcția distribuției normale standard.

Observație 1. Teorema limitei centrale justifică faptul că distribuția normală are loc în natură mai des decât altele.

Observație 2. Pentru mari, prin urmare. CLT poate fi scris într-o altă formă :.

§ 26. Funcția de fiabilitate. Legea demonstrării fiabilității.

Proprietatea caracteristică a legii exponențiale de fiabilitate.

o Vom numi un element un dispozitiv, indiferent dacă acesta este "simplu" sau "complex".

Fie ca elementul să înceapă să funcționeze în momentul t0 = 0, iar după ce intervalul de timp t scade, se produce defecțiunea acestuia. Indicăm prin T variabila continuă aleatorie - durata funcționării în siguranță a elementului. Dacă elementul a lucrat fără eșec (înainte de eșec), timpul este mai mic decât t, atunci, pentru un interval de timp t, apare o eșec.

Astfel, funcția de distribuție determină probabilitatea de defectare a unui element pe un interval de timp de durată t. În consecință, probabilitatea funcționării fără defecțiune în același interval de timp de durată t, adică probabilitatea evenimentului opus T> t este (1).

o Funcția de fiabilitate R (t) este o funcție care determină probabilitatea funcționării fără defect a unui element pe un interval de timp t :.

Adesea, durata operațiunii de siguranță a unui element are o distribuție exponențială, funcția de distribuție a căreia, unde t> 0.

În consecință, în virtutea (1), funcția de fiabilitate în cazul unei distribuții exponențiale a timpului de funcționare sigur al unui element are următoarele forme:

o O lege indicativă a fiabilității se numește o funcție

(2). unde λ este rata de eșec.

Formula (2) ne permite să găsim probabilitatea unei funcționări libere a unui element într-un interval de timp t, dacă timpul de funcționare fără probleme are o distribuție exponențială.

Un exemplu. Timpul de funcționare al elementului este asigurat în funcție de legea exponențială cu o intensitate λ = 0,02. Găsiți probabilitatea ca elementul să funcționeze fără eșec 100h.

.

Legea orientativă a fiabilității este foarte simplă și convenabilă pentru rezolvarea problemelor apărute în practică. Foarte multe formule ale teoriei fiabilității sunt mult simplificate. Motivul este că această lege are următoarele proprietăți importante: probabilitatea de defectare a unui element pe durata intervalului de timp t este timpul independent de muncă anterioare, înainte de începutul intervalului, iar intervalul de timp depinde de durata t (la eșecuri o anumită intensitate λ).

Introducem notația evenimentelor:

.

.

Formula obținută nu conține t0. dar conține doar t.

Astfel, probabilitatea condiționată de funcționarea fără defecțiune a elementului, presupunând că elementul a lucrat fără probleme la intervalul anterior, este egal cu probabilitatea necondiționată.

Astfel, în cazul unei legi orientative a fiabilității, funcționarea în siguranță a elementului "în trecut" nu afectează probabilitatea funcționării fără defecțiune "în viitorul apropiat".

Notă. Se poate demonstra că numai distribuția exponențială posedă proprietatea luată în considerare. Prin urmare, dacă în practică variabila aleatorie studiată are această proprietate, atunci ea este distribuită conform legii exponențiale. De exemplu, presupunând că meteoriții sunt distribuite uniform în spațiu și în timp, probabilitatea de a obține o navă spațială meteorit nu depinde de faptul dacă sunt sau nu de a cădea meteoriți cad în navă, înainte de intervalul de timp considerat. În consecință, momente aleatorii ale timpului când meteoriții au lovit nava spațială sunt distribuite conform legii exponențiale.

§ 27. Funcții aleatorii.

o O funcție aleatorie este o funcție X (t), a cărei valoare pentru orice valoare a argumentului t este o variabilă aleatoare.

Cu alte cuvinte, o funcție aleatorie este o funcție care, ca rezultat al experienței, poate lua o anumită formă și nu se știe în prealabil ce este.

Forma concretă adoptată de variabila aleatoare ca rezultat al experimentului se numește realizarea unei funcții aleatorii.

Figura prezintă mai multe implementări ale unor procese aleatorii.

Dacă fixăm valoarea argumentului t, atunci funcția aleatoare X (t) se transformă într-o variabilă aleatoare, care se numește secțiunea transversală a funcției aleatoare. corespunzând timpului t. Presupunem că distribuția secțiunii este continuă. Apoi, X (t) pentru un anumit t este determinat de densitatea distribuției p (x; t).

Evident, p (x, t) nu este exhaustivă caracteristică X (t) a unei funcții aleatoare, deoarece nu exprimă relația dintre secțiunile X (t), la diferite momente de timp t. O caracterizare mai completă oferă o funcție de cooperare densitate de distribuție de risc de variabile aleatoare, în cazul în care t1 și t2 sunt valori arbitrare ale argumentului T aleatoare. O caracterizare și mai completă a funcției aleatoare X (t) va da o densitate de distribuție compatibilă a sistemului de trei variabile aleatorii și așa mai departe.

Materiale conexe

Informații despre locuri de muncă

Articole similare

• Instituția de sănătate bugetară municipală - spitalul central - este o clinică non-clinică

• Instituția bugetului de stat - Petuhovhov intrarea centrală spital la medic,

• Instituția de sănătate bugetară de stat din regiunea Astrahan este Centrul Liman

Trimiteți-le prietenilor: