1) Suma, diferența, produsul și parțial funcțiile periodice ale unei perioade reprezintă o funcție periodică a perioadei.
2) Dacă funcția este o perioadă. atunci funcția are o perioadă.
3) Dacă este o funcție periodică a perioadei. atunci orice două integrale ale acestei funcții care sunt preluate de intervale de lungime sunt egale (integratul există), adică pentru oricare și pentru egalitatea deținută.
Seriile Fourier (Fourier - matematician francez și fizician 1768-1830) sunt folosite pentru a descrie procese periodice, rezolvarea ecuațiilor diferențiale, aproximarea funcțiilor periodice și neperiodice. În aceste cazuri, funcția care descrie procesul periodic este reprezentată de suma funcțiilor periodice simple, amplitudinea, faza oscilațiilor și faza inițială.
Crezând. pot fi scrise
Procesele complexe sunt descrise de funcțiile formei
O expresie a formei. unde este sistemul trigonometric de bază al funcțiilor, se numește seria trigonometrică Fourier.
Principalul sistem trigonometric de funcții:
. este definit pe interval. unde este perioada funcției. Numerele se numesc coeficienții Fourier ai funcției.
10. Semne suficiente de extindere a unei funcții într-o serie Fourier
Definiția. Punctul discontinuității unei funcții este numit un punct de discontinuitate a primului tip, dacă există limite finite la dreapta și la stânga acestei funcții la un anumit punct.
Teorema lui Dirichlet. Dacă pe un segment funcția are un număr finit de puncte de discontinuitate de primul tip (sau continuu) și un număr finit de puncte extremum (sau nu le are deloc), atunci seria Fourier converge, adică are o sumă. în toate punctele din acest interval. În acest caz:
1) în punctele de continuitate a funcției se converge la funcția însăși;
2) în fiecare punct de discontinuitate a funcției converge la jumătate suma limitelor unilaterale ale funcției în dreapta și în stânga;
3) la ambele puncte limită ale segmentului se converge, deoarece magnitudinea se apropie de aceste puncte din interiorul segmentului până la jumătatea sumelor limitelor unilaterale ale funcției.
11. Seria Fourier pentru o funcție periodică cu o perioadă
se numește seria Fourier trigonometrică pentru o funcție periodică. dacă coeficienții săi sunt determinați prin formule:
Un exemplu. Extindeți funcția periodică f (x) în seria Fourier cu perioada T = 2l. care pe segment este dat de egalitate.
Soluția. Să găsim coeficienții seriei Fourier:
. t. atunci expansiunea ia forma. în consecință, extinderea necesară are forma:
12. Seria Fourier pentru o funcție periodică cu o perioadă
Seria Fourier pentru o astfel de funcție este obținută din seria 1 cu valoarea.
Un exemplu. Extindeți funcția seriei Fourier dată în intervalul de ecuație.
Soluția. Graficul acestei funcții este segmentul care leagă punctele și. Figura arată graficul funcțiilor.
Această funcție este periodică cu perioada.
Se determină coeficienții seriei Fourier. Mai întâi găsim
Al doilea integral este egal cu zero ca un integral al unei funcții ciudate, preluat pe un interval simetric în raport cu originea.
În continuare găsim coeficienții:
Ambele integrale sunt zero, deoarece integrarea celui de-al doilea integral este ciudat ca produs al funcțiilor parțiale și parțiale. Deci t. e ..
Acum determinăm coeficienții:
Primul integral este zero. Integrandul celui de-al doilea integral este chiar ca produs al a două funcții ciudate. Astfel.
Rezolvăm acest integrabil prin integrarea în părți:
În consecință, extinderea funcției într-o serie Fourier are forma:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: