Formule de diferențiere

Subiect 1.2. Ecuații diferențiale obișnuite

Soluția de diferite probleme prin metoda de modelare matematică reduce la găsirea unei funcții necunoscute din ecuația care conține variabila independentă, funcția necunoscută și derivatele acestei funcții. O astfel de ecuație se numește diferențială.







Definiția. O soluție a unei ecuații diferențiale este orice funcție care transformă o ecuație dată într-o identitate.

În mod simbolic, ecuația diferențială este scrisă ca:

F (x, y, y ', y "Y (h)) = 0

2x + y - 3y '= 0 y' 2 ​​- 4 = 0, sin y '= cos xy, y' '= 2x ecuațiile diferențiale.

Definiția 2. Ordinea ecuației diferențiale este cea mai mare ordine a derivatelor care intră în ecuația dată.

xy '+ y - 2 = 0 - ecuația de ordinul întâi

y '' + 7y'-3y = 0 - ecuația de ordinul trei

Definiție 3. O ecuație diferențială a primei ordini este o ecuație cu forma F (x, y, y ') = 0

y '= f (x, y) este o ecuație de ordinul întâi, rezolvată în raport cu derivatul.

Definiție 4. Fiecare soluție unică a unei ecuații diferențiale se numește soluția sa specifică.

Definiția 5. O funcție definită de formula y = (e (x, C) sau y = y (x, C) - reprezintă soluția generală a soluției diferențiale F (x, y, y ') = 0 sau

Problema Cauchy. La rezolvarea problemelor specifice, este adesea necesar să se izoleze din întregul set de soluții ale ecuației diferențiale o soluție specială care este răspunsul la întrebarea pusă. Pentru a distinge o curbă integrală separată de întregul set de soluții, sunt date așa-numitele condiții inițiale.

În cazul primei diferențiale ordin Ecuații y „= f (x, y) la o condiție inițială pentru soluțiile sale y = y (x) realiza condițiile care constau în faptul că y = yo la x = xo adică y (xo) = yo, unde Xo și yo - număr prestabilit (datele inițiale), astfel încât, atunci când x = y = xo și funcția yo f (x, y) are un sens, și anume există f (x0, y0).

Definiția 6. Problema găsirii unei soluții particulare a unei ecuații diferențiale care satisface condițiile inițiale date este numită problema Cauchy.

În cazul primelor ecuații diferențiale de ordinul a problemei Cauchy este formulată după cum urmează: o soluție y = y (x) ecuația y „= f (x, y), care satisface datele inițiale (. Ho YO) Starea inițială

Definiție 7. O ecuație diferențială se numește o ecuație cu variabile separabile dacă are următoarea formă: y '= f1 (x) f2 (y) sau

Teorema: Dacă există integrale ∫dy / f2 (y) și ∫ f1 (x) dx, atunci integralul integral al ecuației cu variabile separate este dat de ecuația

F2 (y) = F1 (x) + C, unde F2 (y) și F1 (x) sunt anumite primitive ale funcțiilor 1 / f2 (y) și f1 (x).

La rezolvarea ecuațiilor diferențiale cu variabile de separare, se poate urma următorul algoritm:

1) pentru a separa variabilele (luând în considerare condițiile când se poate face acest lucru);

2) integrarea ecuatiilor rezultate cu variabile separate, gasirea integrala a acestora;

3) pentru a afla dacă ecuația are soluții care nu sunt obținute din integrala generală;

4) găsiți un integral integral (sau soluție) care satisface condițiile inițiale (dacă este necesar).

Un exemplu. Găsiți soluția specială a ecuației 2yy '= 1-3x 2 dacă yo = 3 pentru x o = 1

Aceasta este o ecuație cu variabile separate. Noi îl reprezentăm în diferențiale:

Prin urmare, 2y * dy = (1-3 x 2) dx

Integrarea ambelor părți ale acestei ecuații, obținem ∫ 2y * dy = ∫ (1-3x 2) dx obține y 2 = x - x 3 + C. Prin substituirea valorilor inițiale yo = 3 x o = 1 le găsim

C. 9 = 1-1 + C, adică C = 9.

În consecință, integrarea parțială dorită este y 2 = x - x 3 + 9 sau

x 3 + y 2 - x - 9 = 0

Definiție 1. O serie numerică este o expresie a formularului

a1 + a2 + ... an + .......... unde a1. a2. ...... sunt numere care aparțin unui anumit sistem numeric.

Pentru notația abreviată a seriei, se utilizează semnul de însumare # 931; și

Definiție 2. Numerele a1, a2, ... an. ... ... sunt numiți membrii seriei; și un este numit termenul general al seriei.

Definiția 3. O serie este numită convergentă dacă secvența sumelor sale parțiale S1. S2. S3. Sn. converge, adică dacă există o limită finită







Numărul S este numit suma unei serii. Dacă Lim Sn nu există sau Lim Sn = ∞, atunci seria

h → ∞ h → ∞

Se spune că este divergent și că nu i se atribuie nici o valoare numerică.

Teoremă 1. Dacă seria converge, atunci termenul său comun tinde la zero.

Dacă Lim ≠ 0 sau dacă această limită nu există, atunci seria se diferențiază.

Teorema 2. Să fie dată o serie a1 + a2 + ... an + ............., cu termeni pozitivi.

Presupunem că Lim există și Lim = P

1) dacă P<1, то ряд сходится

2) dacă P> 1, atunci seria se diferențiază.

Definiție 3. Seria care conține atât termeni pozitivi, cât și termeni negativi se numește regulat.

Definiția 4. Se spune că o serie regulată este absolut convergentă în cazul seriei

| a1 | + | a2 | + ... + | un | + .......... compus din modulele membrilor săi.

Definiția 5. Seria a1 + a2 + ... an + .......... se spune că este convergent în mod condiționat dacă converge și seria | a1 | + | a2 | + ... + | un | + .......... compusă din modulele termenilor săi, este diferită.

Definiția 6. O serie este numită alternativă dacă termenii pozitivi și negativi urmează una după alta (a1 + a2 + a3 - a4 + ... .. + (- 1) n + 1 *

Teorema 3. O serie alternativă converge dacă:

1) termenii săi reduc modulo,

2) termenul său comun tinde la zero,

Suma S a seriei satisface inegalitatea 0≤ S ≤a1

Definiție 7. Fie u1 (x), u2 (x). un (x). este o secvență de funcții.

O expresie a formei # 931; un (x) = u1 (x), u2 (x). un (x) + se numește o serie funcțională.

Definiția 8. Se spune că o serie de funcții converg la un punct x0. dacă

obținută din seria funcțională prin substituția x = xo. este o serie convergentă. Aceasta se numește punctul de convergență al seriei.

Definiție 9. O serie de putere este o serie funcțională a formularului

unde x este o variabilă independentă, xo este un număr fix, ao. a1. a2. ... și n .... Sunt coeficienți constanți.

Secțiunea 2.1. Fundamentele matematicii discrete.

Subiect 2.1. Seturi și relații. Proprietățile relațiilor. Operații pe seturi.

Setul este conceptul de bază al teoriei seturilor, introdusă fără definiție. Cel puțin faptul că se compune din elemente este cunoscut despre set.

Se numește un set A

Metode pentru specificarea seturilor:

1. Prin enumerare, adică o listă a elementelor sale.

2. O procedură de generare care descrie metoda de obținere a elementelor dintr-un set de elemente deja obținute sau alte obiecte. În acest caz, elementele setului sunt toate obiectele care pot fi construite folosind o astfel de procedură.

3. Descrierea caracteristicilor caracteristice pe care trebuie să le posede elementele sale.

Pentru a specifica într-o varietate de moduri setul N al tuturor numerelor naturale 1, 2, 3 ... ..

a) setul N nu poate fi dat din cauza infinitului său.

b) procedura de generare conține două reguli:

1) 1 Î N; 2) dacă n Î N, apoi n + 1 Î N

c) o descriere a proprietății caracteristice a elementelor setului N:

Operații pe seturi.

1. Se numește uniunea seturilor A și B

un set compus din toate aceste elemente,

care aparțin cel puțin unuia dintre seturi

2. Se intersecteaza intersectia seturilor A si B

un set format din toate acele elemente și numai acele elemente,

care aparțin ambelor categorii A și B. (Figura 3)

3. Diferența dintre seturile A și B este setul

toate acestea și numai acele elemente ale lui A care sunt

nu sunt cuprinse în B. (Figura 4)

4. Complementul (până la B) lui A este B

Efectuați operații pe seturile A = și B =

Operațiile de completare pe seturile A și B nu pot fi îndeplinite. setul universal nu este definit.

Relațiile - una dintre modalitățile de a stabili relații între elementele setului. Cele mai studiate și cele mai frecvent utilizate sunt așa-numitele relații evaporate și bipare.

Relațiile pot fi stabilite:

Fie R o relație pe setul M, R ≤ M x M, atunci:

1. R este reflexiv dacă există un a a pentru orice a Î M.

2. R este antireflexiv dacă pentru fiecare a Î M nu deține un R a.

3. R ​​este simetric dacă un R b implică bRa.

4. R este antisimetric dacă aRb și bRa implică a = b, adică pentru elementele distincte a și b (a ≠ b), aRb și bRa nu sunt îndeplinite simultan.

5. R - este tranzitoriu dacă aRb și bRa atrag aRc.

Tema 2.2 Concepte de bază ale teoriei grafurilor

Reprezentări grafice într-un sens larg - orice reprezentări vizuale ale sistemului, procesului, fenomenului din plan. Acestea pot include desene, desene, grafice de dependențe de caracteristici, hărți locale, diagrame de flux de proces, diagrame și altele asemenea.

Reprezentările grafice reprezintă o modalitate convenabilă de a ilustra conținutul diferitelor concepte legate de alte modalități de reprezentări formalizate.

Cea mai puternică și cea mai studiată clasă de obiecte legate de reprezentările grafice sunt așa-numitele grafice.

Teoria grafurilor are aplicații enorme, deoarece limba sa, pe de o parte, este intuitivă și ușor de înțeles, iar pe de altă parte este convenabilă în cercetarea formală.

Reprezentările grafice într-un sens restrâns sunt o descriere a sistemului, procesului, fenomenului investigat prin intermediul teoriei grafurilor sub forma unui set de două clase de obiecte: vârfuri și linii de legătură - muchii sau arce.

Definiție: Un grafic este o colecție de două seturi: vârfuri V și muchii E, între elementele care sunt definite în ceea ce privește incidența - fiecare margine e E este incident este de două vârfuri v „v“ „V, care se conecteaza.

Doar despre teoria grafurilor, a elementelor grafic pentru a se familiariza cu tipurile de grafice și să examineze operațiunile pe ele, puteți citi secțiunea 3 „Teoria grafurilor“ manual str.195-214 pentru un secol editat G.I.Moskinova „Matematici discrete “.

Pentru auto-studiul subiectului 3.1. Bazele teoriei probabilității și statisticile matematice. Furtună. Teoreme pentru adăugarea și multiplicarea probabilităților. Teme 3.2. Variabila aleatorie, funcția de distribuție. Teme 3.3. Asteptarile matematice si variatia unei variabile aleatoare. Puteți folosi următoarea literatură: "Bazele matematicii superioare" ale lui VS Shchipachev, precum și IP Natanson. Un curs scurt de matematică superioară sau NVBogomolov. O lecție practică în matematică.







Articole similare

Pagina anterioară

Pagina următoare

Trimiteți-le prietenilor: