Acest termen are și alte semnificații, vezi Moment.
Momentul inerției este o cantitate fizică scalară (în general, o tensiune). măsurarea inerției în mișcarea de rotație în jurul axei, la fel cum masa corpului este o măsură a inerției sale în mișcarea înainte. Caracterizată prin distribuția maselor în corp: momentul inerției este egal cu suma produselor de masă elementară pe pătrat de distanțe față de setul de bază (punct, linie sau plan).
Denumire: I sau J.
Există mai multe momente de inerție - în funcție de tipul setului de bază la care se numără distanțele față de masele elementare.
Momentul axial de inerție
Momente axiale de inerție a unor corpuri
Momentul de inerție a sistemului mecanic în raport cu axa fixă ("moment de inerție axial") este cantitatea Ja. egală cu suma produselor de masă a tuturor n punctelor materiale ale sistemului prin patratele distanțelor lor față de axa [1]:
Momentul axial al inerției corpului Ja este o măsură a inerției corpului în mișcarea de rotație în jurul axei, la fel cum masa corpului este o măsură a inerției sale în mișcarea de translație.
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V r d m = \ int \ limi \ rho r ^ dV>
dm = ρ dV este masa unui element mic al volumului corpului dV. ρ este densitatea, r este distanța de la elementul dV la axa a.
Dacă corpul este omogen, adică densitatea lui este peste tot aceeași
Teorema lui Huygens-Steiner
Momentul de inerție al unui corp solid față de o axă depinde de masa. forma și mărimea corpului, precum și din poziția corpului față de această axă. Conform teoremei lui Huygens - Steiner, momentul de inerție J în raport cu o axă arbitrară este suma momentului de inerție Jc a corpului în jurul unei axe care trece prin centrul de masă al corpului paralelă cu axa considerată, iar produsul de masa m a corpului și pătratul distanța d dintre axele [1]:
unde m este masa totală a corpului.
De exemplu, momentul de inerție al tijei în raport cu axa care trece prin capătul său este:
Momente axiale de inerție a unor corpuri
Momente de inerție ale unor corpuri omogene de cea mai simplă formă în raport cu unele axe de rotație
Moment de inerție față de plan
Momentul de inerție al unui corp solid față de un plan este cantitatea scalară egală cu suma produselor din masa fiecărui punct al corpului cu pătratul distanței de la acest punct la planul considerat [9].
Dacă tragem axele de coordonate x printr-un punct arbitrar O. y. z. atunci momentele de inerție față de planurile de coordonate x O y. y O z și z O x vor fi exprimate prin formule:
În cazul unui corp continuu, sumarea se înlocuiește cu integrarea.
Momentul central al inerției
Momentul central al inerției (momentul inerției relativ la punctul O, momentul inerției față de pol, momentul polar al inerției) J O> este valoarea determinată de expresia [9]:
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V r d m = \ int \ limi \ rho r ^ dV>
Momentul central al inerției poate fi exprimat prin momentele axiale principale ale inerției și, de asemenea, prin momente de inerție față de planuri [9]:
Momentul inerției corpului față de o axă arbitrară care trece prin centrul de masă și având o direcție dată de vectorul unității s → = ∥ s x. s y. s z ∥ T. | s → | = 1> = \ stânga \ Vert s_, s_, s_ \ dreapta \ Vert ^, \ left \ vert> \ right \ vert = 1>. pot fi reprezentate sub formă de formă triunghiulară (bilineară):
unde J ^ este tensorul de inerție. Matricea tensorului inerțial este simetrică, are dimensiuni de 3 × 3 și constă din componente ale momentelor centrifuge:
J ^ = ∥ J xx - J xy - J xz - J yx J yy - J yz - J zx - J zy J zz ∥> = \ stângă \ Vert J_J_-J _ \\ - J_J_-J _ \\ - J_ -J_J_ \ end> \ right \ Vert>. J x y = J y x. J x z = J z x. J z y = J y z. = J_, J_ = J_, J_ = J _,>
J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m. J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m. J zz = ∫ (m) (x 2 + y 2) dm = \ int \ limite _ (y ^ + z ^) dm, J _ = \ int \ limite _ (x ^ + z ^) dm, J _ = \ int \ _ limite (x ^ + y ^) dm>.
Prin alegerea sistemului de coordonate corespunzător, matricea tensorului de inerție poate fi redusă la o formă diagonală. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvăm problema eigenvalue pentru matricea tensorului J:
J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^;> _ => ^ \ cdot> \ cdot>;> J ^ d = ∥ JX 0 0 0 JY 0 0 0 JZ ∥> _ = \ stângă \ Vert J_00 \\ 0J_0 \\ 00J_ \ end> \ dreapta \ Vert>,
unde Q ^ >> este matricea ortogonală a tranziției către eigenstate a tensorului de inerție. Într-o bază adecvată, axele de coordonate sunt direcționate de-a lungul axelor principale ale tensorului inerțial și coincid de asemenea cu semiconeele principale ale elipsoidului tensorului inerțial. Cantitățile J, J, J, J, J, J> sunt momentele principale de inerție. Expresia (1) din sistemul de coordonate propriu-zis are forma:
care dă ecuația elipsoidului în coordonatele proprii. Împărțirea ambelor laturi ale ecuației cu I s>
și efectuarea înlocuirilor:
obținem forma canonică a ecuației elipsoide în coordonatele ξ η ζ:
ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1 \ cdot J _ + \ eta ^ \ cdot J _ + \ zeta ^ \ cdot J_ = 1>
Distanța de la centrul elipsoidului până la un anumit punct este legată de momentul inerției corpului de-a lungul liniei drepte care trece prin centrul elipsoidului și în acest punct:
- ↑ Corecția utilizării semnul "+" din această formulă poate fi văzută dacă vom compara momentele de inerție ale unui cilindru gol, cu pereți groși și solid cu aceleași mase. Într-adevăr, în primul dintre aceste cilindri, masa în medie este mai departe de axă decât a doua, astfel încât momentul inerției acestui cilindru ar trebui să fie mai mare decât cel al celui solid. Este acest raport de momente de inerție care oferă semnul "+". Pe de altă parte, la limită, când r1 se apropie de r2, formula pentru un cilindru gol cu pereți groși trebuie să obțină aceeași formă ca și formula pentru un cilindru gol, cu pereți subțiri. Evident, o astfel de tranziție apare numai atunci când se folosește o formulă cu semnul plus.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: