Rezumat: Prelegerea povestește despre istoricul apariției programării geometrice. Considerăm inegalitatea Cauchy și generalizarea lui. Sunt date exemple de aplicare a acestor inegalități pentru rezolvarea problemelor aplicate. Se introduc conceptele de monomială și positon.
Pe termenul "programare geometrică"
Problema Dido
Problema Dido. sau problema izoperimetrică clasică, este formulată după cum urmează: în cazul curbelor plane închise având o anumită lungime, găsiți o curbă care acoperă suprafața maximă.
Această sarcină este asociată cu numele Didona - fondatorul orașului Carthage și a celei dintâi regine. Conform legendei, un fenician printesa Dido (Elissa), fugind de persecutarea fratelui său, regele Tirului, a mers spre vest de-a lungul malul Mediteranei să caute refugiu. Îi plăcea locul de pe coasta actualei Golfuri din Tunisia. Dido a intrat în negocieri cu liderul local Yarbom cu privire la vânzarea de terenuri. A cerut destul de mult - la fel de mult cum puteți înconjura pielea taurului. Didone a reușit să-l convingă pe Yarba. Tranzacția a avut loc, și apoi inteligent Dido tăiat pielea unui taur, pe care ea a fost acordată localnicilor în fâșii, le-legat și înconjurat zona, pe care castelul, și aproape de ea - orașul Cartagina.
Dacă considerăm că Dido a ales un sit adiacent litoralului, problema cu care se confruntă Dido poate fi formulată după cum urmează: ce formă ar trebui să aibă o curbă de lungime pentru zona figurului delimitată de această curbă și linia dată să fie cea mai mare. Presupunând că - o linie dreaptă, soluția problemei este un semicerc de lungime.
Cauza inegalității
Soluția cazului particular al problemei Dido, atunci când este necesar să se determine care dintre cele dreptunghiuri ale perimetrului dat are cea mai mare suprafață. era cunoscut matematicienilor Greciei antice. Mai mult, această problemă geometrică este considerată a fi cea mai veche problemă extremă. Soluția la această problemă este dată în VI carte „elemente“ ale lui Euclid, în cazul în care se dovedește că, dacă luăm în considerare un dreptunghi și un pătrat de același perimetru, zona de pătrat este mai mare decât suprafața unui dreptunghi.
Soluția problemei Dido pentru dreptunghiuri și alte cazuri particulare ale acestei probleme este ușor de obținut prin inegalitatea Cauchy. care stabilește că media aritmetică a numerelor non-negative nu este mai mică decât media geometrică a acestora:
Egalitatea se realizează numai atunci când.
Dovada inegalității Cauchy are multe în formă generală, deci aici dăm o dovadă a acestei inegalități numai pentru:
Acum arătăm, prin exemple, cum inegalitatea Cauchy poate fi utilizată pentru a rezolva problemele geometrice de optimizare.
Exemplul 1 (problema Dido pentru dreptunghiuri). Găsiți lungimile laturilor dreptunghiului cu perimetrul, care are cea mai mare suprafață.
Indicăm lungimea laturilor dreptunghiului de către u și zona lui prin. Apoi modelul matematic al problemei ia forma:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: