al - Khorezmi, la fel ca toți matematicienii înainte de secolul al XVII - lea. e ia în considerare soluția zero, probabil pentru că în probleme practice concrete nu contează. Atunci când rezolvăm ecuații patrate complete, al-Khorezmi, pe exemple numerice particulare, stabilește regulile soluției și apoi dovezile geometrice.
Problema 14. "Pătratul și numărul 21 sunt egale cu 10 rădăcini. Găsiți rădăcina "(rădăcina ecuației x2 + 21 = 10x este implicită).
Tratatul Al-Khwarizmi este prima carte care a ajuns la noi, în care este prezentată în mod sistematic clasificarea ecuațiilor patratice și sunt date formulele pentru rezolvarea lor.
Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor patratice redusă la o singură formă canonică:
cu toate combinațiile posibile de semne ale coeficienților b. a fost formulată în Europa abia în 1544 de către M. Stiefel.
Determinarea formulei pentru soluția ecuației patratice este în general în Vieta, însă Vietes recunoaște doar rădăcinile pozitive. Matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli printre primii din secolul al XVI-lea. Luați în considerare, pe lângă rădăcinile pozitive și negative. Numai în secolul al XVII-lea. Datorită muncii lui Girard, Descartes, Newton și a altor oameni de știință, metoda de rezolvare a ecuațiilor patratice are un aspect modern.
1.6 Despre teorema lui Vieta
Teorema care exprimă legătura dintre coeficienții ecuației patrate și rădăcinile ei, care poartă numele de Vieta, a fost formulată de el pentru prima dată în 1591 după cum urmează: "Dacă B + D. înmulțită cu A-A2. este egal cu BD. atunci A este egal cu B și este egal cu D ".
Pentru a înțelege Vieta, trebuie amintit că A., ca orice vocală, însemna în el necunoscutul (x), vocalele sunt B, iar D sunt coeficienții necunoscuți. În limba algebrei moderne, formula de mai sus Vieta înseamnă: dacă
Exprimând relația dintre rădăcini și coeficienții ecuațiilor prin formule generale scrise cu ajutorul simbolurilor, Viet a stabilit o uniformitate în metodele de rezolvare a ecuațiilor. Cu toate acestea, simbolismul din Vieta este încă departe de cel modern. El nu a recunoscut numere negative și, prin urmare, în rezolvarea ecuațiilor, el a luat în considerare numai cazurile în care toate rădăcinile sunt pozitive.
2. Metode pentru rezolvarea ecuatiilor patrate
Ecuațiile quadratice reprezintă temelia pe care se bazează clădirea maiestuoasă a algebrei. Ecuațiile ecuații se găsesc la scară largă în soluțiile de ecuații și inegalități trigonometrice, exponențiale, logaritmice, iraționale și transcendente. Toți suntem în măsură să rezolvăm ecuațiile pătrunde de la banca școlii (gradul 8) până la absolvire.
În cursul matematicii la școală, se studiază formulele rădăcinilor de ecuații patratice, cu ajutorul cărora se pot rezolva orice ecuație patratică. Cu toate acestea, există și alte modalități de rezolvare a ecuațiilor patratice care permit rezolvarea multor ecuații foarte rapid și rațional. Există zece moduri de a rezolva ecuațiile patratice. În detaliu în munca mea, am dezasamblat fiecare dintre ei.
1. METODĂ. Descompunerea părții din stânga a ecuației în multiplicatori.
Descompunem partea stângă în multiplicatori:
x2 + 10x - 24 = 12x + x2 - 2x - 24 = x (x + 12) - 2 (x + 12) = (x + 12) (x2).
În consecință, ecuația poate fi rescrisă după cum urmează:
Deoarece produsul este zero, atunci cel puțin unul dintre factorii săi este zero. Prin urmare, partea stângă a ecuației devine zero, atunci când x = 2 și x = - 12. Aceasta înseamnă că numărul 2, și - 12 sunt rădăcinile ecuației x2 + 10x - 24 = 0.
2. METODĂ. Metoda de selectare a pătratului complet.
Rezolvăm ecuația x2 + 6x - y = 0.
Selectați pătratul complet din stânga.
Pentru a face acest lucru, vom scrie expresia x2 + 6x în următoarea formă:
În expresia obținută, primul termen este pătratul numărului x, iar al doilea este produsul dublat de x la 3. Prin urmare, pentru a obține un pătrat complet, trebuie să adăugăm 32, deoarece
Acum transformăm partea stângă a lui
adăugând la ea și scăzând 32. Avem:
Astfel, această ecuație poate fi scrisă după cum urmează:
Prin urmare, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1 sau x + 3 = -4, x2 = -7.
3. METODA: Rezolvarea ecuatiilor patrate prin formula.
Noi multiplicăm ambele părți ale ecuației
pe 4a și succesiv avem:
Deci, dacă discriminantul este zero, adică b2 - 4ac = 0. apoi ecuația
Această ecuație nu are rădăcini.
Deci, dacă discriminantul este negativ, adică b2 4ac<0.
Formula (1) ecuației pătratice ax 2 + bx + c = rădăcini 0 permite să găsiți rădăcinile oricărei ecuații pătratice (dacă există), inclusiv cele de mai sus, și incomplet. Verbal formula (1) este exprimată ca rădăcinile ecuației pătratice egală cu o fracțiune, numărătorul, care este egal cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus, plus sau minus rădăcina pătrată a pătrat acestui raport fără produs de patru ori a primului coeficient pe termen constant și numitorul este de două ori primul număr.
4. METODA: Rezolvarea ecuatiilor folosind teorema Vieta.
După cum se știe, ecuația cuadratoare redusă are forma
Rădăcinile sale satisfac teorema Vieta, care pentru a = 1 are forma
De aici putem trage următoarele concluzii (din coeficienții p și q, putem prezice semnele rădăcinilor).
a) Dacă membru de sinteză q deasupra ecuației (1) este pozitiv (q> 0), atunci ecuația are două rădăcină semn identic și invidie este al doilea coeficient p. Dacă p <0. то оба корня отрицательны, если р <0. то оба корня положительны.
b) Dacă termenul q al ecuației reduse (1) este negativ (q<0 ), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0. или отрицателен, если p> 0.
5. METODĂ: Rezolvarea ecuațiilor prin metoda "transferului".
Luați în considerare ecuația patratică
Înmulțind ambele părți cu o, obținem ecuația
Să presupunem că ax = y. de unde x = y / a; apoi ajungem la ecuație
este echivalentă cu aceasta. Îi găsim rădăcinile y1 și y2 cu ajutorul teoremei lui Viet.
Cu această metodă, coeficientul a este înmulțit cu termenul liber, așa cum a fost, "aruncat" spre el, așa că se numește metoda "transferului". Această metodă este utilizată atunci când se pot găsi cu ușurință rădăcinile ecuației folosind teorema lui Viet și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.
Să rezolvăm ecuația 2x2 - 11x + 15 = 0.
Soluția. "Să transferăm" coeficientul 2 la termenul liber, ca rezultat obținem ecuația
Conform teoremei lui Viete
6. METODA: Proprietățile coeficienților ecuației patratice.
A. Având în vedere o ecuație patratică
1) Dacă a + b + c = 0 (adică suma coeficienților este zero), atunci x1 = 1,
Dovada. Împărțim ambele părți ale ecuației cu a # 63; 0, obținem ecuația cuadratoare redusă
Conform teoremei lui Viete
Articole similare
-
Rezolvarea ecuatiilor si a sistemelor de ecuatii in matematica
-
Dacă părul este electrificat pentru a înțelege cauzele și soluțiile
Trimiteți-le prietenilor: