1. Conceptul de funcție de undă
Conform ipotezei lui Louis de Broglie, mișcarea liberă a oricărei particule poate fi asociată cu un val de avion
unde este vectorul de rază al unui punct arbitrar în spațiu; t-timp. Frecvența de undă # 969; și vectorul de undă sunt legate de energia și impulsul particulei de către aceleași relații ca și cuanții de lumină:
unde este constanta lui Planck.
substituind # 969; și din (2) în (1), obținem expresia valului de Broglie a unei particule libere:
Pe de altă parte, atomismul unei particule constă în faptul că acționează întotdeauna ca un întreg. Prin urmare, particula nu poate fi o formare din valurile de Broglie.
Mecanica cuantică rezultă din interpretarea statistică a undelor de Broglie. conform căreia
Intensitatea valului de Broglie în orice punct este proporțională cu probabilitatea de a detecta o particulă în acest punct în spațiu.
Starea unui sistem cuantic este descrisă de funcția de undă # 968 ;. care în cazul general este o funcție complexă a vectorului de rază și a timpului t. .
Sensul fizic al funcției de undă este acela
Probabilitatea de a găsi o particulă într-un moment instant într-un volum este dată de formula:
unde / în sistemul de coordonate carteziene /.
Deoarece găsirea unei particule în spațiu este un eveniment autentic,
unde este volumul întregului spațiu.
Expresia (5) este numită condiția de normalizare. Dacă converge integral, atunci funcția de undă poate fi întotdeauna normalizată prin alegerea corespunzătoare a coeficientului constant pentru # 968 ;.
Din condiția (5) rezultă că funcția normalizată # 968; este determinată până la un factor al cărui modul este unitatea, adică, până la un factor, unde # 945; - orice constantă reală. Această ambiguitate nu afectează rezultatele fizice, deoarece matematic toate cantitățile fizice sunt determinate de expresiile care conțin produsul # 968; pe funcția conjugată complexă # 968; * de exemplu- (4).
Următoarea poziție care stă la baza mecanicii cuantice este principiul suprapunerii. care este formulată după cum urmează:
Dacă sistemul cuantic poate fi în stări descrise de funcțiile de undă # 968; 1 și # 968; 2. atunci el poate fi, de asemenea, în stările descrise printr-o combinație liniară arbitrară a acestor funcții:
unde C 1. C2 sunt numere complexe independente complexe.
Din principiul suprapunerii rezultă că ecuația care descrie schimbarea funcției de undă în spațiu și în timp trebuie să fie liniară în raport cu.
2. Operatorii de cantități fizice
În general, operatorul este înțeles ca regulă prin care fiecare clasă de funcții U () este asociată cu o altă funcție - V (). Această regulă este scrisă simbolic ca multiplicarea U () prin.
De exemplu, putem înțelege multiplicarea prin, diferențierea în ceea ce privește coordonatele, extragerea unei rădăcini etc.
Dintre toate posibile operatori pentru imaginea cantităților fizice în mecanica cuantică folosind numai clasa de așa-numitele operatorii autoadjuncți liniare, așa cum numai ei pot îndeplini cantitățile fizice.
Operatorul. se consideră a fi liniară dacă are următoarea proprietate:
unde U1, U2 sunt funcții arbitrare; C1. C2 sunt constante arbitrare.
Necesitatea acestei proprietăți decurge direct din principiul suprapunerii; Utilizarea unui operator nu ar trebui să încalce acest principiu.
Se spune că operatorul este autosustit. sau Hermitian dacă
unde integrala este preluată pe întreaga regiune a posibilei variații.
Semnificația introducerii operatorilor în mecanica cuantică este aceea că toate conexiunile dintre cantitățile fizice pot fi exprimate în limba operatorilor.
Operatorii Rezumat ideyaprimeneniya este că, cu fiecare cantitate fizică variabilă / dinamică / este comparată în mecanica cuantică arătând liniară sa / la principiul superpoziției și / Adjoint / valori pentru a fi real / operatorului.
Relația dintre operatori și variabilele dinamice măsurate se stabilește folosind expresia pentru valoarea medie a valorii. descrisă de funcția de undă:
Deoarece operatorul este Hermitian, această expresie poate fi scrisă diferit:
Folosind regula (10), vom scrie expresia pentru abaterea de la valoarea medie în această stare: și introducem operatorul Hermitian corespunzător:
Acum putem scrie expresia pentru deviația medie pătrată:
care, prin utilizarea auto-adjointness a operatorului, vom reduce la formular
Folosind această relație se calculează abaterea medie pătrată a unei cantități fizice într-o stare arbitrară.
Pentru a găsi astfel de stări pentru care există valori clare, echivalează partea de dreapta a expresiei (l 4) cu zero:
Deoarece integralele este pozitivă, rezultă din (15).
Modulul unui număr complex este zero numai atunci când numărul în sine este zero:
Luând în considerare definiția operatorului (12) și faptul că în statul considerat are o valoare definită, găsim în cele din urmă, sau (16)
Deoarece - este un operator care corespunde unei valori fizice. apoi (16) este o ecuație liniară pentru găsirea funcției de undă a unei stări în care această cantitate are o valoare.
În mecanica cuantică, operatorul este adesea un operator diferențial. adică, ea conține operația de diferențiere. În acest caz (16) este o ecuație diferențială omogenă liniară.
În cazul general, o astfel de ecuație are un nontrivial m. adică o soluție diferită de zero numai pentru anumite valori definite ale lui E, care sunt parametrii (16). Aceste valori ale parametrilor se numesc valorile proprii ale operatorului. Soluțiile corespunzătoare ale (16) sunt numite funcțiile proprii ale operatorului.
Parametrii n. numerotarea valorilor proprii și a funcțiilor proprii se numesc numere cuantice.
Setul de valori proprii ale unui operator este numit spectrul acestuia.
Dacă operatorul are valori proprii discrete, un astfel de spectru se numește discret. În acest caz, se spune că cantitatea are valori cuantificate.
Dacă valorile proprii parcurg o serie continuă de valori, se consideră că o astfel de gamă de valori este continuă.
Există astfel de stări ale unui sistem fizic care sunt descrise prin diferite funcții proprii ale unui anumit operator, dar ele corespund aceleiași valori proprii. Astfel de stări ale sistemului se numesc degenerate. iar numărul de eigenfuncții independente care corespund aceleiași valori ale operatorului este o scurtă durată a degenerării.
Deci, am determinat asta
Într-o stare descrisă de o funcționare proprie a operatorului. Cantitatea fizică are o valoare egală cu valoarea proprie a acestui operator.
Aceasta este interpretarea fizică a formalismului matematic al mecanicii cuantice.
Forma explicită a unor operatori de mecanică cuantică non-relativistă este dată în tabel.
3. Proprietățile funcțiilor proprii ale operatorilor
Funcțiile proprii ale operatorilor mecanicii cuantice au următoarele proprietăți generale.
1. Dacă operatorul are un spectru discret de valori proprii, atunci funcțiile proprii ale acestui operator satisfac ecuația
Conjugatul complex al ecuațiilor (18) pentru numărul cuantumului m.
Înmulțiți (18) și (19) în stânga și, respectiv, integrați pe întreaga regiune a spațiului și scădeți al doilea din primul. Ca rezultat, obținem
Rezultă că
când n m este condiția de ortogonalitate pentru funcțiile proprii corespunzătoare diferitelor valori proprii ale operatorului.
Sensul fizic al ortogonalității funcțiilor proprii constă în faptul că
la măsurarea unei cantități fizice, valoarea în stare și în stare este obținută cu certitudine.
În plus, în conformitate cu (15), funcțiile spectrului discret pot fi întotdeauna normalizate la unitate:
Relațiile (20) și (21) pot fi combinate:
unde simbolul Kronecker este definit după cum urmează:
Un set de funcții care satisfac starea (22). se numește un sistem de funcții ortonormale, adică ortogonale și normalizate.
2. A doua proprietate a funcțiilor proprii ale operatorilor este că setul lor formează un sistem complet de funcții. Asta înseamnă că
orice funcție definită în același domeniu de variabile ca și funcțiile proprii poate fi reprezentată sub forma unei serii
unde sumarea este peste toate valorile numărului cuantic n.
Pentru a găsi coeficienții extinderii, înmulțiți (24) din stânga și integrați pe întreg spațiul:
Schimbarea indiciilor lui m cu n. obținem o expresie pentru coeficienții de expansiune:
Înmulțim (24) cu expresia conjugată complexă
și să se integreze pe întreg spațiul:
Relația (27) este un criteriu pentru sistemul de funcții care urmează să fie normalizat la unitate. Astfel, în conformitate cu (4)
probabilitatea de a merge la stat în mărimea fizică cu o valoare egală cu coeficient quad-Ratu în modulul de expansiune (24), t. e. în intensitate determinată, care eigenstate reprezentări, ci într-o stare.
Ecuația de bază a mecanicii cuantice este ecuația Schrödinger, care determină schimbarea funcției de undă, adică starea sistemului, în spațiu și timp:
unde este Hamiltonianul sistemului; i este unitatea imaginară.
Această ecuație este ecuația de bază a dinamicii în mecanica cuantică, deoarece ne permite să găsim funcții de undă în orice moment, dacă forma operatorului și condițiile inițiale sunt cunoscute.
Hamiltonianul / în absența unui câmp magnetic / are forma (17) în ecuația Schrodinger (28) poate fi scris în mod explicit:
În cazul unui staționar, adică un câmp extern care nu variază în funcție de timp, Hamiltonianul nu depinde de timp. În acest caz, în (29), variabilele pot fi separate:
Înlocuind soluțiile în forma (30) în (29) și denotând constanta de separare E. găsim
Aceasta implică două ecuații pentru T și
Prima ecuație este rezolvată imediat :. iar a doua este o ecuație pentru funcțiile proprii ale lui Hamiltonian. Astfel, dacă sistemul are un spectru discret de energie, atunci soluția (30) are forma
adică, depinde armonic în timp și în frecvență.
unde este valoarea proprie a lui Hamiltonian.
Funcțiile valurilor, care sunt soluții ale ecuației (32), corespund stărilor sistemului în care energia are valori definite. Astfel de stări ale sistemului sunt numite staționare. și (32) este numită ecuația staționară Schrödinger.
Nivelele staționare ale energiei sunt numerotate, de regulă, în ordinea cresterii valorii lor absolute.
Starea staționară cu cea mai mică dintre toate valorile posibile ale energiei se numește starea de bază.
Funcțiile valurilor care sunt soluții ale ecuației Schrödinger (29) trebuie să aibă următoarele proprietăți:
1. Funcțiile de undă trebuie să fie unice, continue și finite în întreaga regiune a spațiului. Aceste cerințe trebuie îndeplinite și atunci când potențialul U are suprafețe de discontinuitate. Necesitatea unicității și a finitei funcției de undă este destul de evidentă din sensul său fizic / vezi (4) și (5) /: probabilitatea localizării particulelor trebuie să fie una finită și unică. În plus, deoarece funcția val este o soluție a unei ecuații diferențiale a formei (29), aceasta trebuie să fie inseparabilă și să aibă, de asemenea, un derivat unic, continuu și finit.
2. Dacă există regiuni de spațiu unde. apoi în ele peste tot. Particulele, evident, nu pot fi în interiorul acestor zone. Continuitatea necesită acest lucru la granița acestei zone. Derivații de la limită pot avea o discontinuitate.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: