Orice sistem vibrațional cu două grade de libertate poate fi reprezentat ca două sisteme cu un grad de libertate, interconectate. Din cauza acestei relații, fluctuațiile unui sistem afectează oscilațiile într-un alt sistem și invers. Astfel de sisteme, pe care este posibilă descompunerea unui sistem oscilant complex, se numesc sisteme parțiale. Sistemul oscilator parțial este descris de o coordonată generalizată și este obținut din sistemul complet dacă toate celelalte coordonate generalizate sunt setate egale cu zero. Frecvențele oscilațiilor libere ale sistemelor parțiale sunt numite frecvențe parțiale ale sistemului complet.
Partiționarea unui sistem complet în unele parțiale este ambiguă, deoarece coordonatele independente pot fi alese în moduri diferite. De exemplu, în circuitul oscilator prezentat în Fig. 57, orice pereche de curenți i1 și i2 poate fi selectată ca coordonate independente; i1 și i3 sau i2 și i3. și apoi sistemele parțiale vor avea forma prezentată în Fig. 58. Frecvențele parțiale se modifică și în consecință. Pentru coordonatele independente i1 și i2 ele sunt egale, pentru i1 și i3 - ,. pentru i2 și i3 - ,. Natura legăturii dintre sistemele parțiale depinde, de asemenea, de alegerea variabilelor independente. În Fig. 58, și cuplarea inductivă, 58, b - capacitiv și 58, și - amestecate. Ca variabile independente în circuitul din Fig. 57, este de asemenea posibil să selectați tensiuni pe condensatoarele u1 și u2. În acest caz, sistemele parțiale sunt obținute prin condensatoarele cu scurtcircuit C1 și C2. Frecvențele parțiale corespunzătoare sunt egale. Este clar din punct de vedere fizic că mișcarea din sistemul complet pentru condițiile inițiale date va fi aceeași, dar înregistrarea sa în coordonate diferite este diferită.
Fig. 57. Schema unui circuit oscilator electric cu două grade de libertate. a) b) c) Fig. 58. Diferitele variante ale partiționării sistemului arătat în Fig. 57, pe sisteme parțiale. Fig. 59. Două penduluri conectate.
Acum, să studiem oscilațiile libere într-un sistem cu două grade de libertate prin exemplul a două penduluri conectate printr-un arc și făcând oscilații în planul figurii (figura 59).
Dacă unghiurile de abatere a pendulului din poziția de echilibru stabil sunt suficient de mici, atunci energiile cinetice și potențiale ale sistemului sunt egale cu
unde k este rigiditatea arcului. Apoi ecuațiile de mișcare ale sistemului (ecuațiile Lagrange):
O caracteristică a ecuațiilor de mișcare scrise în coordonate normale este absența termenilor care descriu conexiunile dintre sisteme, adică sistemul este împărțit în două sisteme independente. În general, un termen care conține produsul coordonatelor parțiale în ecuația Lagrange corespunde cuplării. În consecință, expresiile pentru energiile cinetice și potențiale ale sistemului scrise în coordonate normale nu conțin un produs de coordonate.
Fig. 60. Programul vinului.
Fig. 61. Dependența coeficienților de distribuție asupra frecvențelor parțiale.
Să considerăm dependența frecvențelor normale ale sistemului de raportul dintre frecvențele parțiale ale pendulurilor. Folosind relația (7.7), putem deduce dependența pătratelor frecvențelor normale de frecvențele parțiale. Pentru claritate, presupunem că numai una dintre frecvențele parțiale se schimbă, de exemplu, n2. Apoi graficul unei astfel de dependențe, numit programul Wien. va avea forma arătată în Fig. 60. După cum se poate observa, pentru orice n2, frecvențele parțiale se află între frecvențele proprii. Această proprietate este comună pentru orice sistem conservator cu două grade de libertate.
Ecuația (7.7) arată că, dacă frecvențele parțiale sunt foarte diferite, atunci pentru o cuplare nu prea puternică (), frecvențele normale sunt apropiate de frecvențele parțiale (w1,2 »n1,2). În ceea ce privește abordarea parțială a frecvențelor, frecvențele normale se îndepărtează de frecvențele parțiale. Cea mai mare diferență între w1,2 și n1,2 este observată în apropierea egalității frecvențelor parțiale (n1 = n2).
Construim acum un grafic care arată comportamentul coeficienților c1 și c2 cu o modificare a frecvenței parțiale n2 (Figura 61). Deoarece n1 este întotdeauna mai mare decât w1 și mai mică decât w2. atunci rezultă din (7.8) că c1 este întotdeauna mai mare decât zero (c1> 0) și c2 este întotdeauna mai mic decât zero (c2 <0). Поэтому колебания на частоте w1 всегда происходят в фазе (синфазны), а колебания на частоте w2 всегда противофазны.
În cazul general, magnitudinea conexiunii fizice (schimbul de energie) între sistemele parțiale este caracterizată de conexiune
care este determinată nu numai de coeficienții de cuplare, ci și de apropierea valorilor frecvențelor parțiale. Dacă conexiunea este mică (s <<1), когда обмен энергией между парциальными системами мал, собственные частоты близки к соответствующим парциальным частотам (w1,2 » n1,2 ). Также, при малой связности обмен энергией между парциальными системами незначителен.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: