Fiecare experiment se termină cu un anumit rezultat specific, care nu este întotdeauna posibil în avans. Pentru a descrie în mod oficial un experiment, este necesar să se indice toate variantele posibile ale rezultatelor prin care se poate încheia acest experiment. În teoria probabilităților, astfel de rezultate se numesc rezultate. Setul tuturor rezultatelor posibile ale experimentului se numește spațiul rezultatelor elementare. Se presupune că experimentul se poate termina cu un singur rezultat elementar. În cel mai simplu caz, toate aceste rezultate pot fi enumerate:
Un astfel de spațiu de rezultate elementare este numit discret.
Cel mai simplu spațiu al rezultatelor elementare este un spațiu în care toate rezultatele indicate ale experimentului în cauză sunt:
2) sunt inconsistente reciproc (adică, ca urmare a experimentului, poate apărea unul și numai unul din aceste rezultate),
3) toate rezultatele formează un grup complet de evenimente (adică nu pot apărea alte rezultate decât cele enumerate).
Un astfel de spațiu este finit și se numește spațiul unor rezultate la fel de posibile (sau un spațiu simetric).
Exemplul 1. Atunci când aruncați o monedă simetrică, există două rezultate posibile - un coadă sau o creastă. Acestea satisfac toate cele trei condiții indicate mai sus și, prin urmare, în acest caz, spațiul de rezultate elementare este reprezentat după cum urmează (aici literele P și F denotă cozile și brațele):
Exemplul 2. Cu aruncarea simultană a două monede, rezultatele sunt ordonate cu perechi constând din simbolurile P și D. Primul element al acestei perechi este rezultatul scăzut pe prima monedă, cel de-al doilea element fiind rezultatul celei de-a doua monede. Este evident că există patru astfel de perechi:
Exemplul 3. În cazul unei aruncări de zaruri, oricare dintre numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6 poate cădea. Prin urmare, spațiul rezultatelor elementare
Exemplul 4. Atunci când două zaruri sunt aruncate simultan, rezultatele elementare sunt perechi (x, y), unde x este numărul de puncte căzut pe primul os și y este numărul de puncte pe cel de-al doilea os. Există 36 de astfel de perechi în total:
Într-un spațiu discret, probabilitatea fiecărui rezultat elementar este presupusă a fi dată și este notată cu P (i), sau pur și simplu pi. și întotdeauna
și anume Suma (finită sau infinită) a probabilităților tuturor rezultatelor elementare este egală cu una. Rezultatele elementare pe care le numim un eveniment elementar.
Un eveniment este orice subset care constă în rezultatele elementare ale spațiului evenimentelor elementare. Se spune că "evenimentul A a avut loc" dacă experimentul sa încheiat cu unul din rezultatele elementare i A.
Probabilitatea unui eveniment A este suma probabilităților tuturor rezultatelor elementare care apar în A, adică P (A) =. Din această definiție a probabilității evenimentului rezultă că întotdeauna 0 P (A) 1.
În cazul unor rezultate la fel de probabile, probabilitatea unui eveniment elementar A este dată de
unde este numărul de elemente din set. care este numit de obicei "numărul total de rezultate", și a este numărul de elemente din setul A, numit "numărul de rezultate favorabile".
Evenimentul A, care constă în toate rezultatele elementare care nu apar în A, se numește evenimentul opus evenimentului A. Se produce dacă și numai dacă evenimentul A nu are loc. Este evident că P (A) + P (A) = 1. Această ecuație este utilizată pentru a calcula probabilitatea unui eveniment A, atunci când probabilitatea evenimentului opus este cunoscută sau poate fi ușor de găsit, atunci P (A) = 1 - P (A).
Astfel, pentru a calcula probabilitatea ca fiecare sarcină este importantă pentru a determina ce experimentul, pentru a construi în mod corespunzător spațiul corespunzător de evenimente elementare și să aloce l la eveniment A. Apoi, folosind metode combinatorii, pentru a contoriza numărul de elemente și A.
Sarcina 1. În caseta 5 portocale și 4 mere. La întâmplare se selectează 3 fructe. Care este probabilitatea ca toate cele trei fructe sunt portocale?
Soluția. Rezultatele elementare aici sunt mostre care includ 3 fructe.
Soluția. Din moment ce ordinul este indiferent, vom considera probele ca neordonate (și, desigur, repetitive). Numărul total de rezultate elementare este egal cu numărul de modalități de alegere a 3 elemente de la 9; numărul de combinații n =. Numărul de rezultate favorabile m = va fi egal cu numărul de moduri de a selecta trei portocale din cele disponibile 5, adică numărul de combinații de trei elemente din 5; Apoi, probabilitatea
Sarcina 2: Profesorul oferă fiecare dintre cei trei elevi de a concepe orice număr de la 1 la 10. Având în vedere că alegerea fiecăruia dintre orice număr de studenți dat ravnovozmozhen, găsiți probabilitatea ca unele dintre ele concepute de meci.
Soluția. Calculăm mai întâi numărul total de rezultate. Rezultatele elementare vor fi considerate mulțimi ordonate de numere concepute: N1. N2. N3. în care N1 - numărul de studenți în primul rând conceput, N2 - al doilea și N3 - prima treime din ele selectează unul dintre numerele 10-10, caracteristici ale doilea face același lucru - 10 posibilități, în cele din urmă, alegerea celei de a treia sondă 10 posibilități. Conform teoriei principale a combinatoricii, numărul total de căi va fi:
n = N1 N2 N3 = 10 3 = 1000 rezultate elementare.
Numărarea numărului de rezultate favorabile este mai complicată. Rețineți că coincidența numerelor concepute poate apărea în orice pereche de elevi (sau chiar simultan, toți trei). Pentru a nu dezasambla separat toate aceste cazuri, este convenabil să mergeți la evenimentul opus, adică pentru a număra numărul de cazuri în care toți trei studenți concepeau numere diferite. Prima dintre ele are încă 10 moduri de a alege un număr. Al doilea elev are acum doar 9 posibilități (ca el trebuie să aibă grijă ca aceasta nu coincide cu numărul conceput printre primii studenți N2 N1 treilea student este chiar mai limitat la alegere -. Acesta dispune de un total de 8 (din 10 pentru cele două excluse N3 număr: .. N3 N1 N3 N2) prin urmare, numărul total de combinații de numere concepute în care nu există nici un meci, nici de aceeași fundamentală teorema m = 10 9 8 = 720. cazuri rămase 1000-720 = 280 sunt caracterizate ca având cel puțin un meci. În consecință, probabilitatea de coincidență necesară este P = 280/1000 = 0,28.
Problema 3. Găsiți probabilitatea ca exact 4 cifre să coincidă în numărul de 8 cifre, iar celelalte sunt diferite.
Soluția. Evenimentul A =. Din starea problemei rezultă că dintre cele 5 cifre diferite, una dintre ele este repetată - numărul de modalități de a alege este de 10 cifre, iar această cifră ocupă orice număr de 4 locuri - numărul de căi. Restul de 4 locuri sunt ocupate de numere diferite de cele neutilizate 9 și deoarece numărul depinde de ordinea numerelor, numărul de modalități de alegere a patru cifre este. Apoi, numărul de rezultate favorabile. În toate modurile de compilare a numerelor de 8 cifre este || = 10 8. Probabilitatea necesară este.
Sarcina 4. Șase clienți se transformă aleatoriu în 5 firme. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o companie să nu fie contactată.
Soluția. Luați în considerare evenimentul opus. constând în faptul că în fiecare dintre cele 5 firme pe care le-a aplicat clientul, apoi în una dintre ele au aplicat două persoane, iar în celelalte 4 firme - un client. Astfel de oportunități. Și toate căile de distribuire a 6 clienți la 5 firme. Aici. Prin urmare.
Problema 5. Între 25 de bilete de examen există 5 "fericit" și 20 "ghinion". Elevii se ridică în spatele biletelor unul câte unul la rândul lor. Cine are mai multe șanse de a obține un bilet "norocos": de la cel care a venit primul sau de cel care a venit pe locul al doilea?
Soluția. Biletele "norocoase" au numerele 1,2,3,4,5. Indicăm prin i1 numărul biletului luat de primul student, prin i2 - numărul biletului luat de cel de-al doilea student, atunci rezultatul elementar este perechea. și spațiul rezultatelor elementare
aici toate rezultatele elementare sunt la fel de probabile. Evenimentul A = are forma
Fiecare dintre evenimentele A și B conține elemente, iar întregul spațiu conține elemente. În consecință, P (A) = P (B) = 1/5.
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: