O ecuație diferențială este o ecuație care leagă variabilele independente, funcțiile lor și derivatele (sau diferențialele) acestei funcții.
Dacă ecuația diferențială are o variabilă independentă, atunci se numește o ecuație diferențială obișnuită; dacă există două sau mai multe variabile independente, atunci o astfel de ecuație diferențială se numește o ecuație diferențială parțială.
Cea mai mare ordine a derivaților care intră în ecuație este numită ordinea ecuației diferențiale.
1. Problema Cauchy pentru o ecuație diferențială de ordinul întâi
Problema Cauchy este găsirea oricărei soluții particulare a unei ecuații diferențiale a formulei y = j (x, C0) care satisface condițiile inițiale y (x0) = y0.
Teorema Cauchy. (teorema privind existența și unicitatea unei soluții a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi)
Dacă funcția f (x, y) este continuă într-un domeniu D în planul XOY și are în acest domeniu un derivat parțial continuu
, atunci pentru orice punct (x0, y0) din domeniul D există o soluție unică
, este definit într-un interval care conține punctul x0. presupunând valoarea j (x0) = y0 pentru x = x0. și anume există o soluție unică a ecuației diferențiale.
1.1. Sens geometric
Din punct de vedere geometric, vorbim despre găsirea unei curbe integrale care trece printr-un punct dat M (x, y).
Problema esențialității soluției cauzei Cauchy și unicitatea acestei soluții este de o importanță excepțională pentru teoria ecuațiilor diferențiale și a aplicațiilor ei. Spunem problema Cauchy
are o soluție unică dacă se poate specifica o vecinătate a punctului x
că soluția (1.1) este definită în ea și că nu există nici o soluție
definită în aceeași vecinătate (1.2), a cărei valoare nu coincide cu valorile soluției (1.1) cel puțin la un punct al vecinătății (1.2), diferită de punctul x. Altfel, se spune că unicitatea soluției cauzei Cauchy este încălcată.
Prezența proprietății unicității depinde de ecuația diferențială și de datele inițiale x, y.
1.2. Semnificația mecanică
2. Soluția generală și particulară a unei ecuații diferențiale de ordinul întâi
O soluție generală a unei ecuații diferențiale este o funcție diferențiabilă y = j (x, C), care, înlocuită în ecuația inițială în locul unei funcții necunoscute, transformă ecuația într-o identitate.
Proprietățile soluției generale:
1) Deoarece constanta C este o cantitate arbitrară, atunci în general ecuația diferențială are un set infinit de soluții.
2) Pentru unele condiții inițiale, x = x0. y (x0) = y0 există o valoare C = Co pentru care soluția ecuației diferențiale este funcția y = j (x, C0).
Soluția y = y (x), în fiecare punct al cărei unicitate a soluției problemei Cauchy este păstrată, se numește soluția specială a ecuației diferențiale.
Un exemplu. Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
Soluția generală a ecuației diferențiale este căutată prin integrarea laturilor stângi și drepte ale ecuației, care a fost transformată anterior după cum urmează:
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: