Ecuație diferențială în derivați parțiali ai formei:
se numește ecuația Laplace în coordonate carteziene.
Este un caz special al ecuației Helmholtz. Poate fi considerat în spații tridimensionale (1), bidimensionale (2), unidimensionale și n-dimensionale:
Operatorul este numit operatorul Laplacian. Operatorul Laplace este echivalent cu operațiile gradient și de divergență succesive.
Soluția ecuației Laplace
Soluțiile ecuației Laplace sunt funcții armonice.
Ecuația Laplace se referă la ecuațiile eliptice. Ecuația non-omogenă Laplace devine ecuația Poisson.
Fiecare soluție a ecuației Laplace într-un domeniu mărginit G alocat în mod unic în condiții limită impuse asupra comportamentului soluțiilor (sau derivați ai acestora) la regiunea de interfață G. Dacă soluția este solicitată în întregul spațiu, condițiile limită sunt reduse la un anumit asimptotice prescripție pentru f dacă. Problema găsirii unor astfel de soluții se numește o problemă de valoare limită. Cea mai comuna problema Dirichlet atunci când frontiera este setat la funcția f, și multe provocări atunci când valoarea setată a derivat f normală la limita.
Ecuația Laplace în coordonate sferice, polare și cilindrice
Ecuația Laplace poate fi scrisă nu numai în coordonate carteziene.
În coordonatele sferice (ecuația Laplace are următoarea formă:
În coordonatele polare (sistemul de coordonate ecuația are forma:
În coordonatele cilindrice (ecuația are forma:
Prin ecuația Laplace reduce multe probleme de fizică și mecanică, în care cantitatea fizică este o funcție numai coordonatele punctului. Astfel, ecuația Laplace descrie forțele gravitaționale potențiale într-o regiune care nu cuprinde gravitând potențial câmp electrostatic în masă - într-o regiune care nu conține temperatura de încărcare la procesele staționare etc. Un număr mare de probleme de inginerie legate, în special, cu un flux constant lent .. coca, câmpul de filtrare fix ocurență a apelor subterane în jurul electromagnet și un câmp electric staționar în vecinătatea izolatorului porțelan sau îngropat în cablul electric la sol Am o secțiune transversală variabilă este redusă la rezolvarea ecuațiilor tridimensionale Laplace sau Poisson. Operatorul Laplace joacă un rol important în mecanica cuantică.
Exemple de rezolvare a problemelor
Găsiți câmpul dintre două cilindri coaxiali cu raze, iar diferența de potențial dintre acestea este
Articole similare
Trimiteți-le prietenilor: