Serii pozitive

De exemplu, o serie pozitivă. Se numește armonică.

Ca ,, apoi crește. Aceasta implică întregul farmec al seriilor pozitive, deoarece problema convergenței este rezolvată de teorema lui Weierstrass asupra existenței limitei unei secvențe monotonice: "Conversia seriei pozitive este limitată deasupra".

[edit] Principiul comparării seriei

Aplicarea acestui criteriu este așa-numitul principiu de comparare a seriilor.

Fie u serii pozitive. apoi:

, converg converg.
, , .

Din moment ce seria converge apoi, prin teorema lui Weierstrass, suma este mărginită de un anumit număr. Și apoi,

Înlocuim în definiția limitei:

Înmulțim cu mai mult de zero:

Rangurile se majorează reciproc. Prin urmare, la punctul 1, ele sunt egale.

[modifică] Criteriul Cauchy

Un caz important apare dacă termenii scad într-o serie pozitivă :. În această situație, putem preciza un criteriu mai subtil pentru convergența seriei (criteriul Cauchy):

Permiteți o serie de scădere pozitivă. atunci

Prin scăderea secvenței, primul termen este cel mai mare în interiorul parantezei, iar cel mai mic este ultima.

Dacă suma din dreapta este înmulțită cu, obținem suma studiată. Prin urmare, convergența implică convergență.

Acum estimăm din cele de mai sus. Dacă lăsăm primii termeni și creștem în continuare suma, cea precedentă, primim:

Din aceasta obținem rezultatul converse

Să aplicăm acest criteriu pentru investigarea seriei.

Când obținem seria armonică.

Prin formula sumei unei progresii geometrice,

În special, seriile armonice diferă.

[edit] Compararea seriei cu o evoluție geometrică (testul d'Alembert și testul radical Cauchy)

Pe baza comparației seriei, se pot obține principiile convergenței lor, adică teoremele în care se formează condiția privind comportamentul termenilor seriei care garantează convergența sa.

Să fie o serie pozitivă.

Dacă, atunci seria converge atunci când seria se diferențiază, dacă ambele variante sunt posibile (testul d'Alembert)
Lasă-l să fie. Apoi, aceleași relații sunt satisfăcute ca la punctul 1. (Test Radical Cauchy)

Vom fi ghidat de faptul că comportamentul unui număr finit de termeni nu afectează convergența seriei.

Prin definirea limitei

Noi scriem aceste inegalități și le multiplicăm:

Prin urmare, seria de interese pentru noi este majorată printr-o progresie infinită descrescătoare. Prin urmare, prin regula de comparație, ea converge

Secvența crește. Seria divergente.

2. Copiază integral paragraful 1.

Seria este majorată prin progresul descrescător infinit.

Cauza integrală a testului

Să presupunem că pentru o funcție definită scade. Apoi.

Lasă-l să fie. Apoi, în virtutea scăderii funcției ,. Deoarece funcția scade, există un integrat definit. Integrăm și folosim faptul că:

Haideți să rezumăm.

Convergența unui integral necorespunzător cu o funcție pozitivă este determinată de teorema lui Weierstrass asupra monotoniei unei funcții, totul se reduce la limită, dar prin creșterea lor totul se reduce la limite. Dar inegalitatea stabilită arată că limitarea lor este echivalentă cu limitarea sumelor parțiale. Prin urmare, seria și convergența integrală.

Prin urmare, conform criteriului integral al lui Cauchy, adăugarea logaritmului numitorului nu a ajutat seria armonică să devină convergentă. Și nimic nu-l va ajuta!

Articole similare

Pagina anterioară