.și au fost determinate de natura însăși, deoarece în majoritatea cazurilor conturul unei frunze sau a unei flori este o curbă simetrică față de axă.
Familia de trandafiri Grandi are o proprietate care în natură nu este observată imediat: de atunci
atunci întreaga curbă este situată în interiorul cercului de rază a unității. Datorită periodicității funcțiilor trigonometrice, trandafirul constă din lobi identici simetrici față de cele mai mari raze, fiecare dintre acestea fiind egal cu 1.
Cele mai frumoase flori sunt obținute pentru k = 2 (chetyrehlepestkovaya a crescut), iar pentru k = 3 (triplu trandafir, deși cititorul de notat în fig. 11 b, poate părea că această curbă este mai mult ca o elice).
Să arătăm cum să construim un trandafir cu trei petale. Prima notă Pentru a construi această curbă, deoarece raza polar non-negativ, atunci inegalitatea trebuie să fie satisfăcută sin3≥0 rezolvarea constată că gama de unghiuri permise: 0≤.
Datorită periodicității funcției sin3 (perioada sa este egală cu), este suficientă calcularea unghiurilor în intervalul 0. În celelalte două intervale, utilizați periodicitatea. Deci, lasă 0≤. Dacă unghiul se schimbă de la 0 la 1. sin3 se modifică de la 0 la 1 și, prin urmare, se schimbă de la 0 la 1. Dacă unghiul se modifică de la. atunci raza se schimbă de la 1 la 0. Astfel, când unghiul este schimbat de la 0 la. punct din planul descrie o curbă similară cu forma de petale și a revenit la origine. Aceleași lobi se obțin atunci când unghiul variază de la p la și de la. Să analizăm acum cum să construim o curbă dată în sistemul de coordonate polare printr-o ecuație.
Funcția este periodică cu perioada π, în plus,
astfel încât este suficient să construim o curbă în primul trimestru, apoi să o reflectăm în jurul axei Oy și să folosim periodicitatea pentru plotarea curbei în al treilea și al patrulea trimestru.
Funcția = sin2 pe intervalul [0; monotonic crește de la 0 la 1. și pe intervalul [; ] scade monotonic de la 1 la 0. Astfel, am primit o petală de trandafir întins în primul trimestru. Celelalte trei lobi vor fi obținute prin trasarea curbei în restul sferturilor.
Observăm următoarele proprietăți interesante ale trandafiei cu patru petale:
trandafirul cu patru petale este locul geometric al bazelor perpendiculare scoase de la origine la un segment de lungime 1, ale cărui extremități se alunecă de-a lungul axelor de coordonate;
zona delimitată de un trandafir cu patru petale este.
Grundy Roses au fost aplicate în domeniu, în special, în cazul în care un punct de-a lungul unei linii de rotație cu viteză oscilează constant în jurul unui punct fix - centrul de oscilație, traiectoria acestui punct va crescut.
În general, în cazul în care k - număr întreg, petale de trandafir este format din 2k pentru k chiar și k din: petale, dacă k este impar. Dacă k - număr rațional (k =, trandafirul este format din m petale, în cazul în care ambele m și n impar, și de la 2m petale când unul dintre aceste numere este chiar și, în acest caz, terenul parțial suprapus dacă k - număr irațional. , apoi trandafirul constă dintr-un set infinit de petale parțial suprapuse.
Lemniscate Bernoulli este una dintre cele mai remarcabile linii algebrice. Din forma curbei urmează ecuația, curba este format din doi lobi simetrice (în aparență, această curbă seamănă cu un inversata opt sau arc). Pentru punctele de lemniscat, inegalitatea cos2 trebuie satisfăcută, deci este situată între liniile drepte y = x. Rețineți, de asemenea, că = pentru = 0.
Să arătăm cum să construim lemniscatul de Bernoulli. Dar mai întâi remarcăm că, din moment ce pătratul razei polare nu este negativ, inegalitatea cos2 trebuie satisfăcută. Rezolvând această inegalitate, găsim gama de unghiuri admisibile:
Datorită periodicității funcției cos2 (perioada sa este egală cu π), este suficient să se construiască un grafic pentru unghiurile din interval și în restul cazurilor să se utilizeze periodicitatea
Deci, dacă Dacă unghiul se schimbă de la π la cos, atunci cos2 se modifică de la 0 la 1 și, prin urmare, se schimbă de la 0 la
Dacă unghiul se schimbă de la π la. atunci se schimbă de la 0 la 0. Astfel, atunci când unghiul este schimbat dintr-un punct pe plan, el descrie o curbă asemănătoare unei jumătăți din figura opt și se întoarce la origine. A doua jumătate este obținută atunci când unghiul variază de la 0 la și de la 2π.
Lemniscate Bernoulli are un număr de proprietăți geometrice și mecanice originale:
Unghiul realizat de tangenta la lemniscate la un punct arbitrar cu vectorul de rază al punctului de tangență este egal cu 2
Perpendicularul a scăzut de la focalizarea lemniscatului pe vectorul de rază al oricărui punct al său împărțind suprafața sectorului corespunzător la jumătate;
această curbă (în latină lemniscatus - ribboned) este multimea punctelor M, care este produsul dintre distanțele r1, r2, și două puncte de date F1 și F2 (focarele) este egală cu pătratul mezhdufokusnogo distanță.
Primul lemniscate Jacob Bernoulli (1654-1705) a fost luat în considerare în 1694 Bernoulli Ulterior multe ore de studiile lor lemniscate plătit și a găsit unele dintre caracteristicile sale interesante.
Tehnica lemniscate este utilizată în particular, ca o curbă de tranziție rotunjirii rază mică, așa cum este cazul în liniile de cale ferată din teren muntos și traseele de tramvai-TION. Astfel, se asigură o netezime a rotunjirii, fără care forța centrifugă care acționează asupra trenului ar crește dramatic, provocând neplăceri pasagerilor.
Ca un exemplu,
Trimiteți-le prietenilor: