Ușor plan Placi de parchet de triunghi echilateral, pătrate sau hexagoane (sub Tigla ne referim astfel de stivuire, în care partea superioară a fiecărei figură se aplică doar vârfurile de bucăți adiacente și nu există nici o situație în care venerată partea vertex). Exemple de astfel de înclinări sunt prezentate în Fig. 1.
Fig. 1. Zonarea planului: i - triunghiuri echilaterale, ii - pătrate, iii - hexagoane regulate
Nu există alte n-colțuri corecte care să acopere planul fără goluri și suprapuneri. Iată cum puteți explica acest lucru. După cum se știe, suma unghiurilor interioare ale oricărui n-gon este (n - 2) · 180 °. Deoarece toate unghiurile unui n-gon regular sunt aceleași, măsura gradului fiecărui unghi este. Dacă un plan poate fi pavat cu astfel de figuri, atunci la fiecare vârf k se converg poligoanele (pentru unele k). Suma unghiurilor la acest vârf ar trebui să fie 360 °, prin urmare. După câteva transformări simple, această ecuație devine :. Dar, așa cum este ușor de verificat, ultima ecuație are doar trei perechi de soluții dacă presupunem că n și k sunt numere naturale: k = 3, n = 6; k = 4, n = 4 sau k = 6, n = 3. Aceste perechi de numere corespund exact celor prezentate în Fig. 1 tigla.
Și ce alte poligoane poate avea un plan să fie pavat fără goluri și suprapuneri?
a) Dovada că orice triunghi poate fi pavat cu un avion.
b) Dovada că orice quadrangle (ambele convexe și nonconvex) poate fi pavat cu un plan.
c) Dați un exemplu de pentagon cu care să se aplatizeze un avion.
d. Dați un exemplu de hexagon care nu poate fi pavat cu un avion.
e) Dați un exemplu de n-gon pentru unele n> 6, care pot fi pavate cu un avion.
Sfat 1
În punctele a), c), e) puteți încerca să compuneți din aceleași figuri "benzi", care apoi ușor zamotit întregul avion.
Paragraful b): se adaugă un hexagon din două căruțe identice, ale căror laturi opuse sunt paralele. Astfel de hexagoane deschide planul este deja destul de simplu.
Punctul d): folosiți faptul că suma unghiurilor la fiecare vârf trebuie să fie 360 °.
Sfat 2
În punctul e), puteți încerca să acționați diferit: modificați puțin cifrele deja existente, astfel încât să se obțină un nou pavaj.
postfață
Sarcina de a deschide un plan cu figuri identice fără spații și suprapuneri este cunoscut din cele mai vechi timpuri. Unul dintre cazurile sale particulare este problema parchetului care poate fi (respectiv, pavajul unui avion cu poligoane regulate, nu neapărat aceleași) și, în special, parchetul corect. Parchetul corect are această proprietate: prin utilizarea traducerilor paralele (schimburi fără rotații) care traduc parchetul în sine, puteți combina nodul pre-selectat cu orice alt nod al parchetului. În Fig. 1 din condiție sunt doar parchetul drept.
Nu este prea dificil să se demonstreze că există numai 11 tipuri diferite de parchet obișnuit (a se vedea lista de tiluri uniforme). Acest lucru poate fi dovedit cam la fel cum avem în problema au demonstrat că există doar trei tipuri de pardoseli din aceleasi poligoane regulate - măsuri de gradul de unghiuri ale fiecărui poligon regulat sunt cunoscute, trebuie doar să le alege, astfel încât, în suma sa transformat la 360 °, iar acesta este doar un mic căutarea opțiunilor. Există multe mozaicuri antice bazate pe aceste parchet.
Fig. 7. Restul de 8 tipuri de parchet obișnuit. Imagine de pe site-ul en.wikipedia.org
Mozaicuri din argilă, piatră și sticlă (și parchete din lemn și țigle) - cea mai faimoasă și mai ușor de înțeles aplicație a acestei teorii în viață. Mulți dintre noi pot vedea acest lucru prin a merge la bucătăria sau baia noastră. Viitorii designeri studiază în mod special parchetul matematic, deoarece ele și variațiile lor sunt adesea folosite în arhitectură și decorare.
Fig. 8. Formațiunile geologice de pe Capul Stolbchat (insula Kunashir, o creastă mare a Insulelor Kuril)
Armarea se găsește și în natură. În plus față de bine-cunoscute exemple în formă de fagure cele mai izbitoare - o formațiune geologică la Capul columnare (Kunașir Island, o creasta mare de Insulele Kurile) și „Causeway Giant“ în Irlanda de Nord.
Fig. 9. "Drumul giganților" (Irlanda de Nord). Fotografie de la ru.wikipedia.org
Generalizarea sarcinii noastre - pavajul spațiului - este o secțiune importantă de cristalografie, care joacă un rol important în optica integrată și fizica laserelor.
Ciudate cum pare, până în ultima vreme au fost cunoscute numai tangajele periodice (care coincid complet cu ele însele la o anumită schimbare și repetițiile). Totuși, în 1974, omul de știință englez Roger Penrose a inventat mozaicuri neperiodice, care acum sunt numite în onoarea sa de către mozaicurile lui Penrose. Mai târziu (în 1984), astfel de structuri neperiodice au fost descoperite în quasicristale.
Fig. 10. Stânga. Roger Penrose stă pe mozaicul din Penrose. La dreapta. un exemplu de mozaic Penrose. Imagini de pe site-ul en.wikipedia.org
Pe pagina Penrose Tilings, puteți găsi multe exemple de mozaicuri Penrose cu o descriere detaliată a tuturor subtilităților primite.
Fig. 11. MK Esher, "Reptile", 1946 (stânga) și "Fluturi", 1950
Parchetele și mozaicurile se regăsesc și în artele plastice. Poate cele mai renumite opere ale olandezului M. C. Escher (M. C. Escher).
QUOTE.
Parchetul corect are această proprietate: CU PARALEL TRANSPORT (.), Care traduce parchetul în sine, puteți combina nodul pre-selectat cu orice alt nod al parchetului.
END QUOTE.
În opinia mea, acest lucru este greșit. corecta:
Parchetul corect are această proprietate: CU TRANSPORT PARALEL (.) ȘI ROTAȚIE, care traduce parchetul în sine, puteți combina nodul pre-selectat cu orice alt nod al parchetului.
Pentru a vedea acest lucru, că nici o rotație în nici un fel, doar uita-te la imaginea de orice parchet drept, cu exceptia doar parchetul din dreapta, compus în întregime din cifre identice - numai triunghiuri, numai pătrate, doar hexagoane.
Z. Y. În general, mi-a plăcut puzzle-uri.
Vă mulțumim pentru observația corectă: numai transferurile paralele sunt într-adevăr insuficiente. Cu toate acestea, pentru unele parchete corecte, chiar despărțirea paralelă și rotația nu sunt suficiente. De exemplu, pentru fiecare nod din care converg un pătrat, un hexagon și un dodecagon.
Ar fi corect să spunem că, prin translație paralelă, rotație și simetrie, care traduce un parchet, este posibil să se combine nodul de pre-selectat pentru orice alt nod parchet.
În figura cea mai dreaptă, răspunsul la problema c) nu este un tigla, deoarece există o adunare a unghiurilor unor 5-goni în partea celorlalte. Pentru a obține o placare, trebuie să schimbați puțin din una din "benzi" (jumătate din partea de conflict).
Trimiteți-le prietenilor: